Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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9 / 311 / 55
↖ ↑ ↗
← N 80.297927°
E 38.671875°		 ← 13.176 km → N 80.297927°
E 39.375000°		 →
↑
13.256 km
↓
↑
13.256 km
↓
N 80.178713°
E 38.671875°		 ← 13.336 km →
175.722 km²		 N 80.178713°
E 39.375000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6083984375 y=0.1083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6083984375 × 29)
    floor (0.6083984375 × 512)
    floor (311.5)     		tx = 311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1083984375 × 29)
    floor (0.1083984375 × 512)
    floor (55.5)     		ty = 55
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 311 / 55 ti = "9/311/55"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/311/55.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 311 ÷ 29
    311 ÷ 512     		x = 0.607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55 ÷ 29
    55 ÷ 512     		y = 0.107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607421875 × 2 - 1) × π
    0.21484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.67495155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107421875 × 2 - 1) × π
    0.78515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46664110684961
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67495155} λ = 0.67495155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46664110684961))-π/2
    2×atan(11.7828031326758)-π/2
    2×1.4861297690383-π/2
    2.97225953807661-1.57079632675     		φ = 1.40146321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67495155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.671875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40146321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.297927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 311 KachelY 55 0.67495155 1.40146321 38.671875 80.297927
    Oben rechts KachelX + 1 312 KachelY 55 0.68722339 1.40146321 39.375000 80.297927
    Unten links KachelX 311 KachelY + 1 56 0.67495155 1.39938254 38.671875 80.178713
    Unten rechts KachelX + 1 312 KachelY + 1 56 0.68722339 1.39938254 39.375000 80.178713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40146321-1.39938254) × R
    0.00208067000000001 × 6371000     		dl = 13255.94857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40146321-1.39938254) × R
    0.00208067000000001 × 6371000     		dr = 13255.94857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67495155-0.68722339) × cos(1.40146321) × R
    0.01227184 × 0.168525041566953 × 6371000     		do = 13175.9437570223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67495155-0.68722339) × cos(1.39938254) × R
    0.01227184 × 0.170575586251288 × 6371000     		du = 13336.2633224758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40146321)-sin(1.39938254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168525041566953-0.170575586251288)×R²
    abs(0.68722339-0.67495155)×0.00205054468433405×R²
    0.01227184×0.00205054468433405×6371000²
    0.01227184×0.00205054468433405×40589641000000     		ar = 175722290.156107m²