Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3116 / 5148
↖ ↑ ↗
← S 41.902277°
W 43.066406°		 ← 3 636.94 m → S 41.902277°
W 43.022461°		 →
↑
3 635.99 m
↓
↑
3 635.99 m
↓
S 41.934976°
W 43.066406°		 ← 3 635.08 m →
13 220 516 m²		 S 41.934976°
W 43.022461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38043212890625 y=0.62847900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38043212890625 × 213)
    floor (0.38043212890625 × 8192)
    floor (3116.5)     		tx = 3116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62847900390625 × 213)
    floor (0.62847900390625 × 8192)
    floor (5148.5)     		ty = 5148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3116 / 5148 ti = "13/3116/5148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3116/5148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3116 ÷ 213
    3116 ÷ 8192     		x = 0.38037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5148 ÷ 213
    5148 ÷ 8192     		y = 0.62841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38037109375 × 2 - 1) × π
    -0.2392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75165059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62841796875 × 2 - 1) × π
    -0.2568359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.806873894404785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75165059} λ = -0.75165059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.806873894404785))-π/2
    2×atan(0.446250915475452)-π/2
    2×0.419731814182209-π/2
    0.839463628364418-1.57079632675     		φ = -0.73133270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75165059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.066406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73133270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.902277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3116 KachelY 5148 -0.75165059 -0.73133270 -43.066406 -41.902277
    Oben rechts KachelX + 1 3117 KachelY 5148 -0.75088360 -0.73133270 -43.022461 -41.902277
    Unten links KachelX 3116 KachelY + 1 5149 -0.75165059 -0.73190341 -43.066406 -41.934976
    Unten rechts KachelX + 1 3117 KachelY + 1 5149 -0.75088360 -0.73190341 -43.022461 -41.934976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73133270--0.73190341) × R
    0.000570710000000085 × 6371000     		dl = 3635.99341000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73133270--0.73190341) × R
    0.000570710000000085 × 6371000     		dr = 3635.99341000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75165059--0.75088360) × cos(-0.73133270) × R
    0.000766990000000023 × 0.744285003697341 × 6371000     		do = 3636.94367641479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75165059--0.75088360) × cos(-0.73190341) × R
    0.000766990000000023 × 0.743903726907657 × 6371000     		du = 3635.08056994037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73133270)-sin(-0.73190341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744285003697341-0.743903726907657)×R²
    abs(-0.75088360--0.75165059)×0.000381276789683915×R²
    0.000766990000000023×0.000381276789683915×6371000²
    0.000766990000000023×0.000381276789683915×40589641000000     		ar = 13220516.4773918m²