Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3116 / 5164
↖ ↑ ↗
← S 42.423457°
W 43.066406°		 ← 3 607.11 m → S 42.423457°
W 43.022461°		 →
↑
3 606.18 m
↓
↑
3 606.18 m
↓
S 42.455888°
W 43.066406°		 ← 3 605.24 m →
13 004 505 m²		 S 42.455888°
W 43.022461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38043212890625 y=0.63043212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38043212890625 × 213)
    floor (0.38043212890625 × 8192)
    floor (3116.5)     		tx = 3116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63043212890625 × 213)
    floor (0.63043212890625 × 8192)
    floor (5164.5)     		ty = 5164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3116 / 5164 ti = "13/3116/5164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3116/5164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3116 ÷ 213
    3116 ÷ 8192     		x = 0.38037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5164 ÷ 213
    5164 ÷ 8192     		y = 0.63037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38037109375 × 2 - 1) × π
    -0.2392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75165059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63037109375 × 2 - 1) × π
    -0.2607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.81914574070752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75165059} λ = -0.75165059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81914574070752))-π/2
    2×atan(0.440808058089803)-π/2
    2×0.415183665248754-π/2
    0.830367330497507-1.57079632675     		φ = -0.74042900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75165059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.066406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74042900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.423457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3116 KachelY 5164 -0.75165059 -0.74042900 -43.066406 -42.423457
    Oben rechts KachelX + 1 3117 KachelY 5164 -0.75088360 -0.74042900 -43.022461 -42.423457
    Unten links KachelX 3116 KachelY + 1 5165 -0.75165059 -0.74099503 -43.066406 -42.455888
    Unten rechts KachelX + 1 3117 KachelY + 1 5165 -0.75088360 -0.74099503 -43.022461 -42.455888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74042900--0.74099503) × R
    0.000566029999999995 × 6371000     		dl = 3606.17712999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74042900--0.74099503) × R
    0.000566029999999995 × 6371000     		dr = 3606.17712999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75165059--0.75088360) × cos(-0.74042900) × R
    0.000766990000000023 × 0.738179221270127 × 6371000     		do = 3607.10781155401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75165059--0.75088360) × cos(-0.74099503) × R
    0.000766990000000023 × 0.737797256566414 × 6371000     		du = 3605.2413435923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74042900)-sin(-0.74099503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738179221270127-0.737797256566414)×R²
    abs(-0.75088360--0.75165059)×0.000381964703713655×R²
    0.000766990000000023×0.000381964703713655×6371000²
    0.000766990000000023×0.000381964703713655×40589641000000     		ar = 13004504.6356418m²