Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 312 / 472
↖ ↑ ↗
← S 81.923187°
E 39.375000°		 ← 10.985 km → S 81.923187°
E 40.078125°		 →
↑
10.918 km
↓
↑
10.918 km
↓
S 82.021378°
E 39.375000°		 ← 10.852 km →
119.213 km²		 S 82.021378°
E 40.078125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6103515625 y=0.9228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6103515625 × 29)
    floor (0.6103515625 × 512)
    floor (312.5)     		tx = 312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9228515625 × 29)
    floor (0.9228515625 × 512)
    floor (472.5)     		ty = 472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 312 / 472 ti = "9/312/472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/312/472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 312 ÷ 29
    312 ÷ 512     		x = 0.609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 472 ÷ 29
    472 ÷ 512     		y = 0.921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609375 × 2 - 1) × π
    0.21875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.921875 × 2 - 1) × π
    -0.84375 × 3.1415926535     		Φ = -2.65071880139062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68722339} λ = 0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.65071880139062))-π/2
    2×atan(0.0706004471177333)-π/2
    2×0.0704834958458305-π/2
    0.140966991691661-1.57079632675     		φ = -1.42982934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42982934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.923187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 312 KachelY 472 0.68722339 -1.42982934 39.375000 -81.923187
    Oben rechts KachelX + 1 313 KachelY 472 0.69949524 -1.42982934 40.078125 -81.923187
    Unten links KachelX 312 KachelY + 1 473 0.68722339 -1.43154310 39.375000 -82.021378
    Unten rechts KachelX + 1 313 KachelY + 1 473 0.69949524 -1.43154310 40.078125 -82.021378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42982934--1.43154310) × R
    0.00171376000000012 × 6371000     		dl = 10918.3649600008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42982934--1.43154310) × R
    0.00171376000000012 × 6371000     		dr = 10918.3649600008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68722339-0.69949524) × cos(-1.42982934) × R
    0.01227185 × 0.140500575046616 × 6371000     		do = 10984.8908265945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68722339-0.69949524) × cos(-1.43154310) × R
    0.01227185 × 0.138803609030212 × 6371000     		du = 10852.2153096405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42982934)-sin(-1.43154310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.140500575046616-0.138803609030212)×R²
    abs(0.69949524-0.68722339)×0.00169696601640423×R²
    0.01227185×0.00169696601640423×6371000²
    0.01227185×0.00169696601640423×40589641000000     		ar = 119212776.409897m²