Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3120 / 5232
↖ ↑ ↗
← S 44.590467°
W 42.890625°		 ← 3 479.88 m → S 44.590467°
W 42.846679°		 →
↑
3 478.95 m
↓
↑
3 478.95 m
↓
S 44.621754°
W 42.890625°		 ← 3 478.01 m →
12 103 068 m²		 S 44.621754°
W 42.846679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38092041015625 y=0.63873291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38092041015625 × 213)
    floor (0.38092041015625 × 8192)
    floor (3120.5)     		tx = 3120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63873291015625 × 213)
    floor (0.63873291015625 × 8192)
    floor (5232.5)     		ty = 5232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3120 / 5232 ti = "13/3120/5232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3120/5232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3120 ÷ 213
    3120 ÷ 8192     		x = 0.380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5232 ÷ 213
    5232 ÷ 8192     		y = 0.638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380859375 × 2 - 1) × π
    -0.23828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74858262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638671875 × 2 - 1) × π
    -0.27734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.871301087494141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74858262} λ = -0.74858262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.871301087494141))-π/2
    2×atan(0.418406811079117)-π/2
    2×0.396272929748159-π/2
    0.792545859496317-1.57079632675     		φ = -0.77825047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74858262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.890625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77825047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.590467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3120 KachelY 5232 -0.74858262 -0.77825047 -42.890625 -44.590467
    Oben rechts KachelX + 1 3121 KachelY 5232 -0.74781563 -0.77825047 -42.846679 -44.590467
    Unten links KachelX 3120 KachelY + 1 5233 -0.74858262 -0.77879653 -42.890625 -44.621754
    Unten rechts KachelX + 1 3121 KachelY + 1 5233 -0.74781563 -0.77879653 -42.846679 -44.621754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77825047--0.77879653) × R
    0.000546060000000015 × 6371000     		dl = 3478.94826000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77825047--0.77879653) × R
    0.000546060000000015 × 6371000     		dr = 3478.94826000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74858262--0.74781563) × cos(-0.77825047) × R
    0.000766990000000023 × 0.712142857825438 × 6371000     		do = 3479.88129628553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74858262--0.74781563) × cos(-0.77879653) × R
    0.000766990000000023 × 0.711759398668387 × 6371000     		du = 3478.00752568761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77825047)-sin(-0.77879653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712142857825438-0.711759398668387)×R²
    abs(-0.74781563--0.74858262)×0.00038345915705118×R²
    0.000766990000000023×0.00038345915705118×6371000²
    0.000766990000000023×0.00038345915705118×40589641000000     		ar = 12103067.9059808m²