Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3120 / 7152
↖ ↑ ↗
← S 79.038438°
W 42.890625°		 ← 929.17 m → S 79.038438°
W 42.846679°		 →
↑
928.83 m
↓
↑
928.83 m
↓
S 79.046791°
W 42.890625°		 ← 928.47 m →
862 713 m²		 S 79.046791°
W 42.846679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38092041015625 y=0.87310791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38092041015625 × 213)
    floor (0.38092041015625 × 8192)
    floor (3120.5)     		tx = 3120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.87310791015625 × 213)
    floor (0.87310791015625 × 8192)
    floor (7152.5)     		ty = 7152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3120 / 7152 ti = "13/3120/7152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3120/7152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3120 ÷ 213
    3120 ÷ 8192     		x = 0.380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7152 ÷ 213
    7152 ÷ 8192     		y = 0.873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380859375 × 2 - 1) × π
    -0.23828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74858262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.873046875 × 2 - 1) × π
    -0.74609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.34392264382227
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74858262} λ = -0.74858262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.34392264382227))-π/2
    2×atan(0.0959505193505618)-π/2
    2×0.0956576790560577-π/2
    0.191315358112115-1.57079632675     		φ = -1.37948097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74858262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.890625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.37948097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.038438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3120 KachelY 7152 -0.74858262 -1.37948097 -42.890625 -79.038438
    Oben rechts KachelX + 1 3121 KachelY 7152 -0.74781563 -1.37948097 -42.846679 -79.038438
    Unten links KachelX 3120 KachelY + 1 7153 -0.74858262 -1.37962676 -42.890625 -79.046791
    Unten rechts KachelX + 1 3121 KachelY + 1 7153 -0.74781563 -1.37962676 -42.846679 -79.046791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.37948097--1.37962676) × R
    0.000145790000000146 × 6371000     		dl = 928.828090000927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.37948097--1.37962676) × R
    0.000145790000000146 × 6371000     		dr = 928.828090000927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74858262--0.74781563) × cos(-1.37948097) × R
    0.000766990000000023 × 0.190150417168949 × 6371000     		do = 929.168737586796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74858262--0.74781563) × cos(-1.37962676) × R
    0.000766990000000023 × 0.19000728509175 × 6371000     		du = 928.469323651983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.37948097)-sin(-1.37962676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190150417168949-0.19000728509175)×R²
    abs(-0.74781563--0.74858262)×0.000143132077198266×R²
    0.000766990000000023×0.000143132077198266×6371000²
    0.000766990000000023×0.000143132077198266×40589641000000     		ar = 862713.207692133m²