Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3121 / 5167
↖ ↑ ↗
← S 42.520700°
W 42.846679°		 ← 3 601.51 m → S 42.520700°
W 42.802734°		 →
↑
3 600.57 m
↓
↑
3 600.57 m
↓
S 42.553080°
W 42.846679°		 ← 3 599.64 m →
12 964 123 m²		 S 42.553080°
W 42.802734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38104248046875 y=0.63079833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38104248046875 × 213)
    floor (0.38104248046875 × 8192)
    floor (3121.5)     		tx = 3121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63079833984375 × 213)
    floor (0.63079833984375 × 8192)
    floor (5167.5)     		ty = 5167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3121 / 5167 ti = "13/3121/5167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3121/5167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3121 ÷ 213
    3121 ÷ 8192     		x = 0.3809814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5167 ÷ 213
    5167 ÷ 8192     		y = 0.6307373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3809814453125 × 2 - 1) × π
    -0.238037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.74781563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6307373046875 × 2 - 1) × π
    -0.261474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.821446711889282
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74781563} λ = -0.74781563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.821446711889282))-π/2
    2×atan(0.439794937479108)-π/2
    2×0.414335059888668-π/2
    0.828670119777337-1.57079632675     		φ = -0.74212621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74781563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.846679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74212621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.520700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3121 KachelY 5167 -0.74781563 -0.74212621 -42.846679 -42.520700
    Oben rechts KachelX + 1 3122 KachelY 5167 -0.74704864 -0.74212621 -42.802734 -42.520700
    Unten links KachelX 3121 KachelY + 1 5168 -0.74781563 -0.74269136 -42.846679 -42.553080
    Unten rechts KachelX + 1 3122 KachelY + 1 5168 -0.74704864 -0.74269136 -42.802734 -42.553080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74212621--0.74269136) × R
    0.000565150000000014 × 6371000     		dl = 3600.57065000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74212621--0.74269136) × R
    0.000565150000000014 × 6371000     		dr = 3600.57065000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74781563--0.74704864) × cos(-0.74212621) × R
    0.000766989999999912 × 0.737033212886984 × 6371000     		do = 3601.50784927898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74781563--0.74704864) × cos(-0.74269136) × R
    0.000766989999999912 × 0.736651134889731 × 6371000     		du = 3599.64082770914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74212621)-sin(-0.74269136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737033212886984-0.736651134889731)×R²
    abs(-0.74704864--0.74781563)×0.000382077997253094×R²
    0.000766989999999912×0.000382077997253094×6371000²
    0.000766989999999912×0.000382077997253094×40589641000000     		ar = 12964122.6313824m²