Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3121 / 5169
↖ ↑ ↗
← S 42.585445°
W 42.846679°		 ← 3 597.77 m → S 42.585445°
W 42.802734°		 →
↑
3 596.81 m
↓
↑
3 596.81 m
↓
S 42.617791°
W 42.846679°		 ← 3 595.91 m →
12 937 157 m²		 S 42.617791°
W 42.802734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38104248046875 y=0.63104248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38104248046875 × 213)
    floor (0.38104248046875 × 8192)
    floor (3121.5)     		tx = 3121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63104248046875 × 213)
    floor (0.63104248046875 × 8192)
    floor (5169.5)     		ty = 5169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3121 / 5169 ti = "13/3121/5169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3121/5169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3121 ÷ 213
    3121 ÷ 8192     		x = 0.3809814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5169 ÷ 213
    5169 ÷ 8192     		y = 0.6309814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3809814453125 × 2 - 1) × π
    -0.238037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.74781563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6309814453125 × 2 - 1) × π
    -0.261962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.822980692677124
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74781563} λ = -0.74781563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.822980692677124))-π/2
    2×atan(0.439120817670032)-π/2
    2×0.413770055548169-π/2
    0.827540111096337-1.57079632675     		φ = -0.74325622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74781563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.846679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74325622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.585445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3121 KachelY 5169 -0.74781563 -0.74325622 -42.846679 -42.585445
    Oben rechts KachelX + 1 3122 KachelY 5169 -0.74704864 -0.74325622 -42.802734 -42.585445
    Unten links KachelX 3121 KachelY + 1 5170 -0.74781563 -0.74382078 -42.846679 -42.617791
    Unten rechts KachelX + 1 3122 KachelY + 1 5170 -0.74704864 -0.74382078 -42.802734 -42.617791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74325622--0.74382078) × R
    0.000564559999999936 × 6371000     		dl = 3596.81175999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74325622--0.74382078) × R
    0.000564559999999936 × 6371000     		dr = 3596.81175999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74781563--0.74704864) × cos(-0.74325622) × R
    0.000766989999999912 × 0.736269017849973 × 6371000     		do = 3597.77361535837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74781563--0.74704864) × cos(-0.74382078) × R
    0.000766989999999912 × 0.735886869022593 × 6371000     		du = 3595.9062476776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74325622)-sin(-0.74382078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736269017849973-0.735886869022593)×R²
    abs(-0.74704864--0.74781563)×0.000382148827379969×R²
    0.000766989999999912×0.000382148827379969×6371000²
    0.000766989999999912×0.000382148827379969×40589641000000     		ar = 12937156.5081411m²