Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3134 / 5190
↖ ↑ ↗
← S 43.261206°
W 42.275391°		 ← 3 558.52 m → S 43.261206°
W 42.231445°		 →
↑
3 557.57 m
↓
↑
3 557.57 m
↓
S 43.293200°
W 42.275391°		 ← 3 556.65 m →
12 656 362 m²		 S 43.293200°
W 42.231445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38262939453125 y=0.63360595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38262939453125 × 213)
    floor (0.38262939453125 × 8192)
    floor (3134.5)     		tx = 3134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63360595703125 × 213)
    floor (0.63360595703125 × 8192)
    floor (5190.5)     		ty = 5190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3134 / 5190 ti = "13/3134/5190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3134/5190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3134 ÷ 213
    3134 ÷ 8192     		x = 0.382568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5190 ÷ 213
    5190 ÷ 8192     		y = 0.633544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382568359375 × 2 - 1) × π
    -0.23486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.73784476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633544921875 × 2 - 1) × π
    -0.26708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.839087490949463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73784476} λ = -0.73784476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.839087490949463))-π/2
    2×atan(0.432104642980402)-π/2
    2×0.407872920775334-π/2
    0.815745841550669-1.57079632675     		φ = -0.75505049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73784476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.275391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75505049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.261206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3134 KachelY 5190 -0.73784476 -0.75505049 -42.275391 -43.261206
    Oben rechts KachelX + 1 3135 KachelY 5190 -0.73707777 -0.75505049 -42.231445 -43.261206
    Unten links KachelX 3134 KachelY + 1 5191 -0.73784476 -0.75560889 -42.275391 -43.293200
    Unten rechts KachelX + 1 3135 KachelY + 1 5191 -0.73707777 -0.75560889 -42.231445 -43.293200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75505049--0.75560889) × R
    0.000558399999999959 × 6371000     		dl = 3557.56639999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75505049--0.75560889) × R
    0.000558399999999959 × 6371000     		dr = 3557.56639999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73784476--0.73707777) × cos(-0.75505049) × R
    0.000766990000000023 × 0.728236942029552 × 6371000     		do = 3558.52493075763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73784476--0.73707777) × cos(-0.75560889) × R
    0.000766990000000023 × 0.727854142788759 × 6371000     		du = 3556.65438483608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75505049)-sin(-0.75560889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728236942029552-0.727854142788759)×R²
    abs(-0.73707777--0.73784476)×0.000382799240792653×R²
    0.000766990000000023×0.000382799240792653×6371000²
    0.000766990000000023×0.000382799240792653×40589641000000     		ar = 12656361.7604294m²