Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3135 / 5183
↖ ↑ ↗
← S 43.036776°
W 42.231445°		 ← 3 571.62 m → S 43.036776°
W 42.187500°		 →
↑
3 570.69 m
↓
↑
3 570.69 m
↓
S 43.068888°
W 42.231445°		 ← 3 569.75 m →
12 749 795 m²		 S 43.068888°
W 42.187500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38275146484375 y=0.63275146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38275146484375 × 213)
    floor (0.38275146484375 × 8192)
    floor (3135.5)     		tx = 3135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63275146484375 × 213)
    floor (0.63275146484375 × 8192)
    floor (5183.5)     		ty = 5183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3135 / 5183 ti = "13/3135/5183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3135/5183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3135 ÷ 213
    3135 ÷ 8192     		x = 0.3826904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5183 ÷ 213
    5183 ÷ 8192     		y = 0.6326904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3826904296875 × 2 - 1) × π
    -0.234619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.73707777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6326904296875 × 2 - 1) × π
    -0.265380859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.833718558192017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73707777} λ = -0.73707777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.833718558192017))-π/2
    2×atan(0.434430822716276)-π/2
    2×0.409831444327101-π/2
    0.819662888654203-1.57079632675     		φ = -0.75113344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73707777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.231445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75113344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.036776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3135 KachelY 5183 -0.73707777 -0.75113344 -42.231445 -43.036776
    Oben rechts KachelX + 1 3136 KachelY 5183 -0.73631078 -0.75113344 -42.187500 -43.036776
    Unten links KachelX 3135 KachelY + 1 5184 -0.73707777 -0.75169390 -42.231445 -43.068888
    Unten rechts KachelX + 1 3136 KachelY + 1 5184 -0.73631078 -0.75169390 -42.187500 -43.068888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75113344--0.75169390) × R
    0.000560459999999985 × 6371000     		dl = 3570.6906599999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75113344--0.75169390) × R
    0.000560459999999985 × 6371000     		dr = 3570.6906599999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73707777--0.73631078) × cos(-0.75113344) × R
    0.000766989999999912 × 0.730915802407826 × 6371000     		do = 3571.6151640204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73707777--0.73631078) × cos(-0.75169390) × R
    0.000766989999999912 × 0.730533191814215 × 6371000     		du = 3569.74553992203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75113344)-sin(-0.75169390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730915802407826-0.730533191814215)×R²
    abs(-0.73631078--0.73707777)×0.000382610593610777×R²
    0.000766989999999912×0.000382610593610777×6371000²
    0.000766989999999912×0.000382610593610777×40589641000000     		ar = 12749795.3163698m²