Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3135 / 7231
↖ ↑ ↗
← S 79.679314°
W 42.231445°		 ← 875.45 m → S 79.679314°
W 42.187500°		 →
↑
875.18 m
↓
↑
875.18 m
↓
S 79.687184°
W 42.231445°		 ← 874.79 m →
765 892 m²		 S 79.687184°
W 42.187500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38275146484375 y=0.88275146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38275146484375 × 213)
    floor (0.38275146484375 × 8192)
    floor (3135.5)     		tx = 3135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.88275146484375 × 213)
    floor (0.88275146484375 × 8192)
    floor (7231.5)     		ty = 7231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3135 / 7231 ti = "13/3135/7231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3135/7231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3135 ÷ 213
    3135 ÷ 8192     		x = 0.3826904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7231 ÷ 213
    7231 ÷ 8192     		y = 0.8826904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3826904296875 × 2 - 1) × π
    -0.234619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.73707777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8826904296875 × 2 - 1) × π
    -0.765380859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.40451488494202
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73707777} λ = -0.73707777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40451488494202))-π/2
    2×atan(0.0903092953840269)-π/2
    2×0.0900649759298672-π/2
    0.180129951859734-1.57079632675     		φ = -1.39066637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73707777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.231445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39066637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.679314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3135 KachelY 7231 -0.73707777 -1.39066637 -42.231445 -79.679314
    Oben rechts KachelX + 1 3136 KachelY 7231 -0.73631078 -1.39066637 -42.187500 -79.679314
    Unten links KachelX 3135 KachelY + 1 7232 -0.73707777 -1.39080374 -42.231445 -79.687184
    Unten rechts KachelX + 1 3136 KachelY + 1 7232 -0.73631078 -1.39080374 -42.187500 -79.687184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39066637--1.39080374) × R
    0.000137370000000026 × 6371000     		dl = 875.184270000163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39066637--1.39080374) × R
    0.000137370000000026 × 6371000     		dr = 875.184270000163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73707777--0.73631078) × cos(-1.39066637) × R
    0.000766989999999912 × 0.179157429086664 × 6371000     		do = 875.451575085533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73707777--0.73631078) × cos(-1.39080374) × R
    0.000766989999999912 × 0.179022279985821 × 6371000     		du = 874.791169911113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39066637)-sin(-1.39080374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179157429086664-0.179022279985821)×R²
    abs(-0.73631078--0.73707777)×0.000135149100843196×R²
    0.000766989999999912×0.000135149100843196×6371000²
    0.000766989999999912×0.000135149100843196×40589641000000     		ar = 765892.460757135m²