Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3136 / 1088
↖ ↑ ↗
← N 78.630006°
W 42.187500°		 ← 963.34 m → N 78.630006°
W 42.143555°		 →
↑
963.74 m
↓
↑
963.74 m
↓
N 78.621339°
W 42.187500°		 ← 964.07 m →
928 762 m²		 N 78.621339°
W 42.143555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38287353515625 y=0.13287353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38287353515625 × 213)
    floor (0.38287353515625 × 8192)
    floor (3136.5)     		tx = 3136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13287353515625 × 213)
    floor (0.13287353515625 × 8192)
    floor (1088.5)     		ty = 1088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3136 / 1088 ti = "13/3136/1088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3136/1088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3136 ÷ 213
    3136 ÷ 8192     		x = 0.3828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1088 ÷ 213
    1088 ÷ 8192     		y = 0.1328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3828125 × 2 - 1) × π
    -0.234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73631078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1328125 × 2 - 1) × π
    0.734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30710710491406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73631078} λ = -0.73631078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30710710491406))-π/2
    2×atan(10.0453225164482)-π/2
    2×1.47157440740029-π/2
    2.94314881480058-1.57079632675     		φ = 1.37235249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73631078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37235249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.630006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3136 KachelY 1088 -0.73631078 1.37235249 -42.187500 78.630006
    Oben rechts KachelX + 1 3137 KachelY 1088 -0.73554379 1.37235249 -42.143555 78.630006
    Unten links KachelX 3136 KachelY + 1 1089 -0.73631078 1.37220122 -42.187500 78.621339
    Unten rechts KachelX + 1 3137 KachelY + 1 1089 -0.73554379 1.37220122 -42.143555 78.621339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37235249-1.37220122) × R
    0.000151269999999926 × 6371000     		dl = 963.741169999526m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37235249-1.37220122) × R
    0.000151269999999926 × 6371000     		dr = 963.741169999526m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73631078--0.73554379) × cos(1.37235249) × R
    0.000766990000000023 × 0.197143947310492 × 6371000     		do = 963.342575696862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73631078--0.73554379) × cos(1.37220122) × R
    0.000766990000000023 × 0.197292246312964 × 6371000     		du = 964.067237777356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37235249)-sin(1.37220122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197143947310492-0.197292246312964)×R²
    abs(-0.73554379--0.73631078)×0.000148299002472208×R²
    0.000766990000000023×0.000148299002472208×6371000²
    0.000766990000000023×0.000148299002472208×40589641000000     		ar = 928762.096123971m²