Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3137 / 1087
↖ ↑ ↗
← N 78.638666°
W 42.143555°		 ← 962.62 m → N 78.638666°
W 42.099610°		 →
↑
962.98 m
↓
↑
962.98 m
↓
N 78.630006°
W 42.143555°		 ← 963.34 m →
927 328 m²		 N 78.630006°
W 42.099610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38299560546875 y=0.13275146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38299560546875 × 213)
    floor (0.38299560546875 × 8192)
    floor (3137.5)     		tx = 3137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13275146484375 × 213)
    floor (0.13275146484375 × 8192)
    floor (1087.5)     		ty = 1087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3137 / 1087 ti = "13/3137/1087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3137/1087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3137 ÷ 213
    3137 ÷ 8192     		x = 0.3829345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1087 ÷ 213
    1087 ÷ 8192     		y = 0.1326904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3829345703125 × 2 - 1) × π
    -0.234130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73554379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1326904296875 × 2 - 1) × π
    0.734619140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.30787409530798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73554379} λ = -0.73554379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30787409530798))-π/2
    2×atan(10.0530301377801)-π/2
    2×1.47164998274011-π/2
    2.94329996548023-1.57079632675     		φ = 1.37250364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73554379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.143555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37250364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.638666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3137 KachelY 1087 -0.73554379 1.37250364 -42.143555 78.638666
    Oben rechts KachelX + 1 3138 KachelY 1087 -0.73477680 1.37250364 -42.099610 78.638666
    Unten links KachelX 3137 KachelY + 1 1088 -0.73554379 1.37235249 -42.143555 78.630006
    Unten rechts KachelX + 1 3138 KachelY + 1 1088 -0.73477680 1.37235249 -42.099610 78.630006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37250364-1.37235249) × R
    0.000151149999999989 × 6371000     		dl = 962.976649999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37250364-1.37235249) × R
    0.000151149999999989 × 6371000     		dr = 962.976649999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73554379--0.73477680) × cos(1.37250364) × R
    0.000766990000000023 × 0.196995761445373 × 6371000     		do = 962.618466461287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73554379--0.73477680) × cos(1.37235249) × R
    0.000766990000000023 × 0.197143947310492 × 6371000     		du = 963.342575696862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37250364)-sin(1.37235249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196995761445373-0.197143947310492)×R²
    abs(-0.73477680--0.73554379)×0.000148185865118694×R²
    0.000766990000000023×0.000148185865118694×6371000²
    0.000766990000000023×0.000148185865118694×40589641000000     		ar = 927327.757970054m²