Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3137 / 1089
↖ ↑ ↗
← N 64.129783°
E 95.712891°		 ← 4 264.29 m → N 64.129783°
E 95.800781°		 →
↑
4 267.23 m
↓
↑
4 267.23 m
↓
N 64.091407°
E 95.712891°		 ← 4 270.18 m →
18 209 270 m²		 N 64.091407°
E 95.800781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7659912109375 y=0.2659912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7659912109375 × 212)
    floor (0.7659912109375 × 4096)
    floor (3137.5)     		tx = 3137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2659912109375 × 212)
    floor (0.2659912109375 × 4096)
    floor (1089.5)     		ty = 1089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3137 / 1089 ti = "12/3137/1089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3137/1089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3137 ÷ 212
    3137 ÷ 4096     		x = 0.765869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1089 ÷ 212
    1089 ÷ 4096     		y = 0.265869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765869140625 × 2 - 1) × π
    0.53173828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67050508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265869140625 × 2 - 1) × π
    0.46826171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.47108757554028
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67050508} λ = 1.67050508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47108757554028))-π/2
    2×atan(4.3539678359362)-π/2
    2×1.34503610026095-π/2
    2.69007220052189-1.57079632675     		φ = 1.11927587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67050508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.712891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11927587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.129783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3137 KachelY 1089 1.67050508 1.11927587 95.712891 64.129783
    Oben rechts KachelX + 1 3138 KachelY 1089 1.67203906 1.11927587 95.800781 64.129783
    Unten links KachelX 3137 KachelY + 1 1090 1.67050508 1.11860608 95.712891 64.091407
    Unten rechts KachelX + 1 3138 KachelY + 1 1090 1.67203906 1.11860608 95.800781 64.091407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11927587-1.11860608) × R
    0.000669790000000114 × 6371000     		dl = 4267.23209000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11927587-1.11860608) × R
    0.000669790000000114 × 6371000     		dr = 4267.23209000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67050508-1.67203906) × cos(1.11927587) × R
    0.00153397999999982 × 0.436334121724797 × 6371000     		do = 4264.28751601203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67050508-1.67203906) × cos(1.11860608) × R
    0.00153397999999982 × 0.436936690610512 × 6371000     		du = 4270.17641364566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11927587)-sin(1.11860608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436334121724797-0.436936690610512)×R²
    abs(1.67203906-1.67050508)×0.000602568885715526×R²
    0.00153397999999982×0.000602568885715526×6371000²
    0.00153397999999982×0.000602568885715526×40589641000000     		ar = 18209269.8565506m²