Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3137 / 5311
↖ ↑ ↗
← S 47.010226°
W 42.143555°		 ← 3 331.94 m → S 47.010226°
W 42.099610°		 →
↑
3 331.01 m
↓
↑
3 331.01 m
↓
S 47.040182°
W 42.143555°		 ← 3 330.07 m →
11 095 633 m²		 S 47.040182°
W 42.099610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38299560546875 y=0.64837646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38299560546875 × 213)
    floor (0.38299560546875 × 8192)
    floor (3137.5)     		tx = 3137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64837646484375 × 213)
    floor (0.64837646484375 × 8192)
    floor (5311.5)     		ty = 5311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3137 / 5311 ti = "13/3137/5311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3137/5311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3137 ÷ 213
    3137 ÷ 8192     		x = 0.3829345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5311 ÷ 213
    5311 ÷ 8192     		y = 0.6483154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3829345703125 × 2 - 1) × π
    -0.234130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73554379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6483154296875 × 2 - 1) × π
    -0.296630859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.931893328613892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73554379} λ = -0.73554379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.931893328613892))-π/2
    2×atan(0.393807397272952)-π/2
    2×0.375156553507936-π/2
    0.750313107015872-1.57079632675     		φ = -0.82048322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73554379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.143555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82048322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.010226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3137 KachelY 5311 -0.73554379 -0.82048322 -42.143555 -47.010226
    Oben rechts KachelX + 1 3138 KachelY 5311 -0.73477680 -0.82048322 -42.099610 -47.010226
    Unten links KachelX 3137 KachelY + 1 5312 -0.73554379 -0.82100606 -42.143555 -47.040182
    Unten rechts KachelX + 1 3138 KachelY + 1 5312 -0.73477680 -0.82100606 -42.099610 -47.040182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82048322--0.82100606) × R
    0.000522840000000024 × 6371000     		dl = 3331.01364000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82048322--0.82100606) × R
    0.000522840000000024 × 6371000     		dr = 3331.01364000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73554379--0.73477680) × cos(-0.82048322) × R
    0.000766990000000023 × 0.681867823363663 × 6371000     		do = 3331.94254353354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73554379--0.73477680) × cos(-0.82100606) × R
    0.000766990000000023 × 0.681485285580883 × 6371000     		du = 3330.07327522482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82048322)-sin(-0.82100606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681867823363663-0.681485285580883)×R²
    abs(-0.73477680--0.73554379)×0.000382537782779857×R²
    0.000766990000000023×0.000382537782779857×6371000²
    0.000766990000000023×0.000382537782779857×40589641000000     		ar = 11095633.0338493m²