Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3138 / 1090
↖ ↑ ↗
← N 78.612666°
W 42.099610°		 ← 964.79 m → N 78.612666°
W 42.055664°		 →
↑
965.21 m
↓
↑
965.21 m
↓
N 78.603985°
W 42.099610°		 ← 965.52 m →
931 574 m²		 N 78.603985°
W 42.055664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38311767578125 y=0.13311767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38311767578125 × 213)
    floor (0.38311767578125 × 8192)
    floor (3138.5)     		tx = 3138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13311767578125 × 213)
    floor (0.13311767578125 × 8192)
    floor (1090.5)     		ty = 1090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3138 / 1090 ti = "13/3138/1090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3138/1090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3138 ÷ 213
    3138 ÷ 8192     		x = 0.383056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1090 ÷ 213
    1090 ÷ 8192     		y = 0.133056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383056640625 × 2 - 1) × π
    -0.23388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73477680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133056640625 × 2 - 1) × π
    0.73388671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.30557312412622
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73477680} λ = -0.73477680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30557312412622))-π/2
    2×atan(10.0299249974688)-π/2
    2×1.47142308613162-π/2
    2.94284617226324-1.57079632675     		φ = 1.37204985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73477680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.099610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37204985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.612666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3138 KachelY 1090 -0.73477680 1.37204985 -42.099610 78.612666
    Oben rechts KachelX + 1 3139 KachelY 1090 -0.73400981 1.37204985 -42.055664 78.612666
    Unten links KachelX 3138 KachelY + 1 1091 -0.73477680 1.37189835 -42.099610 78.603985
    Unten rechts KachelX + 1 3139 KachelY + 1 1091 -0.73400981 1.37189835 -42.055664 78.603985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37204985-1.37189835) × R
    0.000151500000000082 × 6371000     		dl = 965.206500000523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37204985-1.37189835) × R
    0.000151500000000082 × 6371000     		dr = 965.206500000523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73477680--0.73400981) × cos(1.37204985) × R
    0.000766990000000023 × 0.19744063883236 × 6371000     		do = 964.792356827669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73477680--0.73400981) × cos(1.37189835) × R
    0.000766990000000023 × 0.197589154264864 × 6371000     		du = 965.518076492062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37204985)-sin(1.37189835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19744063883236-0.197589154264864)×R²
    abs(-0.73400981--0.73477680)×0.000148515432504076×R²
    0.000766990000000023×0.000148515432504076×6371000²
    0.000766990000000023×0.000148515432504076×40589641000000     		ar = 931574.090411009m²