Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3138 / 5314
↖ ↑ ↗
← S 47.100045°
W 42.099610°		 ← 3 326.34 m → S 47.100045°
W 42.055664°		 →
↑
3 325.41 m
↓
↑
3 325.41 m
↓
S 47.129951°
W 42.099610°		 ← 3 324.47 m →
11 058 312 m²		 S 47.129951°
W 42.055664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38311767578125 y=0.64874267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38311767578125 × 213)
    floor (0.38311767578125 × 8192)
    floor (3138.5)     		tx = 3138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64874267578125 × 213)
    floor (0.64874267578125 × 8192)
    floor (5314.5)     		ty = 5314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3138 / 5314 ti = "13/3138/5314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3138/5314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3138 ÷ 213
    3138 ÷ 8192     		x = 0.383056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5314 ÷ 213
    5314 ÷ 8192     		y = 0.648681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383056640625 × 2 - 1) × π
    -0.23388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73477680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648681640625 × 2 - 1) × π
    -0.29736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.934194299795654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73477680} λ = -0.73477680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.934194299795654))-π/2
    2×atan(0.39290229950194)-π/2
    2×0.374372734532924-π/2
    0.748745469065848-1.57079632675     		φ = -0.82205086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73477680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.099610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82205086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.100045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3138 KachelY 5314 -0.73477680 -0.82205086 -42.099610 -47.100045
    Oben rechts KachelX + 1 3139 KachelY 5314 -0.73400981 -0.82205086 -42.055664 -47.100045
    Unten links KachelX 3138 KachelY + 1 5315 -0.73477680 -0.82257282 -42.099610 -47.129951
    Unten rechts KachelX + 1 3139 KachelY + 1 5315 -0.73400981 -0.82257282 -42.055664 -47.129951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82205086--0.82257282) × R
    0.000521959999999932 × 6371000     		dl = 3325.40715999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82205086--0.82257282) × R
    0.000521959999999932 × 6371000     		dr = 3325.40715999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73477680--0.73400981) × cos(-0.82205086) × R
    0.000766990000000023 × 0.680720295882583 × 6371000     		do = 3326.33515819716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73477680--0.73400981) × cos(-0.82257282) × R
    0.000766990000000023 × 0.680337844802052 × 6371000     		du = 3324.46631355839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82205086)-sin(-0.82257282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680720295882583-0.680337844802052)×R²
    abs(-0.73400981--0.73477680)×0.00038245108053081×R²
    0.000766990000000023×0.00038245108053081×6371000²
    0.000766990000000023×0.00038245108053081×40589641000000     		ar = 11058311.6680187m²