Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3140 / 1092
↖ ↑ ↗
← N 78.595299°
W 42.011719°		 ← 966.24 m → N 78.595299°
W 41.967774°		 →
↑
966.61 m
↓
↑
966.61 m
↓
N 78.586606°
W 42.011719°		 ← 966.97 m →
934 331 m²		 N 78.586606°
W 41.967774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38336181640625 y=0.13336181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38336181640625 × 213)
    floor (0.38336181640625 × 8192)
    floor (3140.5)     		tx = 3140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13336181640625 × 213)
    floor (0.13336181640625 × 8192)
    floor (1092.5)     		ty = 1092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3140 / 1092 ti = "13/3140/1092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3140/1092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3140 ÷ 213
    3140 ÷ 8192     		x = 0.38330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1092 ÷ 213
    1092 ÷ 8192     		y = 0.13330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38330078125 × 2 - 1) × π
    -0.2333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73324282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13330078125 × 2 - 1) × π
    0.7333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30403914333838
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73324282} λ = -0.73324282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30403914333838))-π/2
    2×atan(10.014551079881)-π/2
    2×1.47127153713725-π/2
    2.94254307427449-1.57079632675     		φ = 1.37174675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73324282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.011719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37174675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.595299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3140 KachelY 1092 -0.73324282 1.37174675 -42.011719 78.595299
    Oben rechts KachelX + 1 3141 KachelY 1092 -0.73247583 1.37174675 -41.967774 78.595299
    Unten links KachelX 3140 KachelY + 1 1093 -0.73324282 1.37159503 -42.011719 78.586606
    Unten rechts KachelX + 1 3141 KachelY + 1 1093 -0.73247583 1.37159503 -41.967774 78.586606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37174675-1.37159503) × R
    0.000151720000000077 × 6371000     		dl = 966.608120000493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37174675-1.37159503) × R
    0.000151720000000077 × 6371000     		dr = 966.608120000493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73324282--0.73247583) × cos(1.37174675) × R
    0.000766989999999912 × 0.197737763187749 × 6371000     		do = 966.244252996432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73324282--0.73247583) × cos(1.37159503) × R
    0.000766989999999912 × 0.197886485193108 × 6371000     		du = 966.970982077697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37174675)-sin(1.37159503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197737763187749-0.197886485193108)×R²
    abs(-0.73247583--0.73324282)×0.000148722005359481×R²
    0.000766989999999912×0.000148722005359481×6371000²
    0.000766989999999912×0.000148722005359481×40589641000000     		ar = 934330.773758106m²