Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3140 / 5188
↖ ↑ ↗
← S 43.197167°
W 42.011719°		 ← 3 562.27 m → S 43.197167°
W 41.967774°		 →
↑
3 561.33 m
↓
↑
3 561.33 m
↓
S 43.229195°
W 42.011719°		 ← 3 560.40 m →
12 683 057 m²		 S 43.229195°
W 41.967774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38336181640625 y=0.63336181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38336181640625 × 213)
    floor (0.38336181640625 × 8192)
    floor (3140.5)     		tx = 3140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63336181640625 × 213)
    floor (0.63336181640625 × 8192)
    floor (5188.5)     		ty = 5188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3140 / 5188 ti = "13/3140/5188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3140/5188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3140 ÷ 213
    3140 ÷ 8192     		x = 0.38330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5188 ÷ 213
    5188 ÷ 8192     		y = 0.63330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38330078125 × 2 - 1) × π
    -0.2333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73324282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63330078125 × 2 - 1) × π
    -0.2666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.837553510161621
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73324282} λ = -0.73324282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.837553510161621))-π/2
    2×atan(0.432767991853207)-π/2
    2×0.408431765098965-π/2
    0.81686353019793-1.57079632675     		φ = -0.75393280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73324282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.011719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75393280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.197167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3140 KachelY 5188 -0.73324282 -0.75393280 -42.011719 -43.197167
    Oben rechts KachelX + 1 3141 KachelY 5188 -0.73247583 -0.75393280 -41.967774 -43.197167
    Unten links KachelX 3140 KachelY + 1 5189 -0.73324282 -0.75449179 -42.011719 -43.229195
    Unten rechts KachelX + 1 3141 KachelY + 1 5189 -0.73247583 -0.75449179 -41.967774 -43.229195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75393280--0.75449179) × R
    0.000558990000000037 × 6371000     		dl = 3561.32529000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75393280--0.75449179) × R
    0.000558990000000037 × 6371000     		dr = 3561.32529000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73324282--0.73247583) × cos(-0.75393280) × R
    0.000766989999999912 × 0.729002468391097 × 6371000     		do = 3562.26567018613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73324282--0.73247583) × cos(-0.75449179) × R
    0.000766989999999912 × 0.728619719673954 × 6371000     		du = 3560.39537114805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75393280)-sin(-0.75449179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729002468391097-0.728619719673954)×R²
    abs(-0.73247583--0.73324282)×0.000382748717143055×R²
    0.000766989999999912×0.000382748717143055×6371000²
    0.000766989999999912×0.000382748717143055×40589641000000     		ar = 12683056.7795566m²