Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3146 / 5194
↖ ↑ ↗
← S 43.389082°
W 41.748047°		 ← 3 551.04 m → S 43.389082°
W 41.704101°		 →
↑
3 550.11 m
↓
↑
3 550.11 m
↓
S 43.421009°
W 41.748047°		 ← 3 549.17 m →
12 603 277 m²		 S 43.421009°
W 41.704101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38409423828125 y=0.63409423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38409423828125 × 213)
    floor (0.38409423828125 × 8192)
    floor (3146.5)     		tx = 3146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63409423828125 × 213)
    floor (0.63409423828125 × 8192)
    floor (5194.5)     		ty = 5194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3146 / 5194 ti = "13/3146/5194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3146/5194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3146 ÷ 213
    3146 ÷ 8192     		x = 0.384033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5194 ÷ 213
    5194 ÷ 8192     		y = 0.634033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.384033203125 × 2 - 1) × π
    -0.23193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.72864087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634033203125 × 2 - 1) × π
    -0.26806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.842155452525146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72864087} λ = -0.72864087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.842155452525146))-π/2
    2×atan(0.430780994029349)-π/2
    2×0.406756993778591-π/2
    0.813513987557183-1.57079632675     		φ = -0.75728234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72864087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.748047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75728234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.389082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3146 KachelY 5194 -0.72864087 -0.75728234 -41.748047 -43.389082
    Oben rechts KachelX + 1 3147 KachelY 5194 -0.72787388 -0.75728234 -41.704101 -43.389082
    Unten links KachelX 3146 KachelY + 1 5195 -0.72864087 -0.75783957 -41.748047 -43.421009
    Unten rechts KachelX + 1 3147 KachelY + 1 5195 -0.72787388 -0.75783957 -41.704101 -43.421009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75728234--0.75783957) × R
    0.000557229999999964 × 6371000     		dl = 3550.11232999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75728234--0.75783957) × R
    0.000557229999999964 × 6371000     		dr = 3550.11232999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72864087--0.72787388) × cos(-0.75728234) × R
    0.000766990000000023 × 0.72670558599051 × 6371000     		do = 3551.04196974825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72864087--0.72787388) × cos(-0.75783957) × R
    0.000766990000000023 × 0.726322684570668 × 6371000     		du = 3549.17092452946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75728234)-sin(-0.75783957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72670558599051-0.726322684570668)×R²
    abs(-0.72787388--0.72864087)×0.000382901419841319×R²
    0.000766990000000023×0.000382901419841319×6371000²
    0.000766990000000023×0.000382901419841319×40589641000000     		ar = 12603276.9969156m²