Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3152 / 1104
↖ ↑ ↗
← N 63.548552°
E 97.031250°		 ← 4 353.27 m → N 63.548552°
E 97.119141°		 →
↑
4 356.23 m
↓
↑
4 356.23 m
↓
N 63.509376°
E 97.031250°		 ← 4 359.25 m →
18 976 906 m²		 N 63.509376°
E 97.119141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7696533203125 y=0.2696533203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7696533203125 × 212)
    floor (0.7696533203125 × 4096)
    floor (3152.5)     		tx = 3152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2696533203125 × 212)
    floor (0.2696533203125 × 4096)
    floor (1104.5)     		ty = 1104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3152 / 1104 ti = "12/3152/1104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3152/1104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3152 ÷ 212
    3152 ÷ 4096     		x = 0.76953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1104 ÷ 212
    1104 ÷ 4096     		y = 0.26953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76953125 × 2 - 1) × π
    0.5390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69351479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26953125 × 2 - 1) × π
    0.4609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.44807786372266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69351479} λ = 1.69351479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44807786372266))-π/2
    2×atan(4.2549280983296)-π/2
    2×1.33996389905054-π/2
    2.67992779810109-1.57079632675     		φ = 1.10913147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69351479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10913147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.548552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3152 KachelY 1104 1.69351479 1.10913147 97.031250 63.548552
    Oben rechts KachelX + 1 3153 KachelY 1104 1.69504877 1.10913147 97.119141 63.548552
    Unten links KachelX 3152 KachelY + 1 1105 1.69351479 1.10844771 97.031250 63.509376
    Unten rechts KachelX + 1 3153 KachelY + 1 1105 1.69504877 1.10844771 97.119141 63.509376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10913147-1.10844771) × R
    0.000683759999999811 × 6371000     		dl = 4356.2349599988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10913147-1.10844771) × R
    0.000683759999999811 × 6371000     		dr = 4356.2349599988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69351479-1.69504877) × cos(1.10913147) × R
    0.00153398000000005 × 0.445439290109431 × 6371000     		do = 4353.27220444433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69351479-1.69504877) × cos(1.10844771) × R
    0.00153398000000005 × 0.44605136456709 × 6371000     		du = 4359.25399990499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10913147)-sin(1.10844771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445439290109431-0.44605136456709)×R²
    abs(1.69504877-1.69351479)×0.000612074457659095×R²
    0.00153398000000005×0.000612074457659095×6371000²
    0.00153398000000005×0.000612074457659095×40589641000000     		ar = 18976906.3599928m²