Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3154 / 5202
↖ ↑ ↗
← S 43.644026°
W 41.396484°		 ← 3 536.07 m → S 43.644026°
W 41.352539°		 →
↑
3 535.14 m
↓
↑
3 535.14 m
↓
S 43.675818°
W 41.396484°		 ← 3 534.20 m →
12 497 198 m²		 S 43.675818°
W 41.352539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38507080078125 y=0.63507080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38507080078125 × 213)
    floor (0.38507080078125 × 8192)
    floor (3154.5)     		tx = 3154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63507080078125 × 213)
    floor (0.63507080078125 × 8192)
    floor (5202.5)     		ty = 5202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3154 / 5202 ti = "13/3154/5202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3154/5202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3154 ÷ 213
    3154 ÷ 8192     		x = 0.385009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5202 ÷ 213
    5202 ÷ 8192     		y = 0.635009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.385009765625 × 2 - 1) × π
    -0.22998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.72250495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635009765625 × 2 - 1) × π
    -0.27001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.848291375676514
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72250495} λ = -0.72250495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.848291375676514))-π/2
    2×atan(0.428145847750114)-π/2
    2×0.404532188472288-π/2
    0.809064376944576-1.57079632675     		φ = -0.76173195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72250495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.396484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76173195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.644026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3154 KachelY 5202 -0.72250495 -0.76173195 -41.396484 -43.644026
    Oben rechts KachelX + 1 3155 KachelY 5202 -0.72173796 -0.76173195 -41.352539 -43.644026
    Unten links KachelX 3154 KachelY + 1 5203 -0.72250495 -0.76228683 -41.396484 -43.675818
    Unten rechts KachelX + 1 3155 KachelY + 1 5203 -0.72173796 -0.76228683 -41.352539 -43.675818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76173195--0.76228683) × R
    0.000554879999999924 × 6371000     		dl = 3535.14047999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76173195--0.76228683) × R
    0.000554879999999924 × 6371000     		dr = 3535.14047999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72250495--0.72173796) × cos(-0.76173195) × R
    0.000766990000000023 × 0.723641746713376 × 6371000     		do = 3536.0705396789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72250495--0.72173796) × cos(-0.76228683) × R
    0.000766990000000023 × 0.723258670588463 × 6371000     		du = 3534.19864076495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76173195)-sin(-0.76228683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723641746713376-0.723258670588463)×R²
    abs(-0.72173796--0.72250495)×0.000383076124912729×R²
    0.000766990000000023×0.000383076124912729×6371000²
    0.000766990000000023×0.000383076124912729×40589641000000     		ar = 12497197.7127892m²