Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 316 / 92
↖ ↑ ↗
← N 74.775843°
E 42.187500°		 ← 20.531 km → N 74.775843°
E 42.890625°		 →
↑
20.653 km
↓
↑
20.653 km
↓
N 74.590108°
E 42.187500°		 ← 20.775 km →
426.543 km²		 N 74.590108°
E 42.890625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 92 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6181640625 y=0.1806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6181640625 × 29)
    floor (0.6181640625 × 512)
    floor (316.5)     		tx = 316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1806640625 × 29)
    floor (0.1806640625 × 512)
    floor (92.5)     		ty = 92
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 316 / 92 ti = "9/316/92"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/316/92.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 316 ÷ 29
    316 ÷ 512     		x = 0.6171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 92 ÷ 29
    92 ÷ 512     		y = 0.1796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6171875 × 2 - 1) × π
    0.234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.73631078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1796875 × 2 - 1) × π
    0.640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.01258279364844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.73631078} λ = 0.73631078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01258279364844))-π/2
    2×atan(7.48261847063995)-π/2
    2×1.43794049409873-π/2
    2.87588098819746-1.57079632675     		φ = 1.30508466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.73631078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30508466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.775843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 316 KachelY 92 0.73631078 1.30508466 42.187500 74.775843
    Oben rechts KachelX + 1 317 KachelY 92 0.74858262 1.30508466 42.890625 74.775843
    Unten links KachelX 316 KachelY + 1 93 0.73631078 1.30184297 42.187500 74.590108
    Unten rechts KachelX + 1 317 KachelY + 1 93 0.74858262 1.30184297 42.890625 74.590108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30508466-1.30184297) × R
    0.00324168999999985 × 6371000     		dl = 20652.8069899991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30508466-1.30184297) × R
    0.00324168999999985 × 6371000     		dr = 20652.8069899991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.73631078-0.74858262) × cos(1.30508466) × R
    0.0122718399999999 × 0.262596026053888 × 6371000     		do = 20530.7795086877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.73631078-0.74858262) × cos(1.30184297) × R
    0.0122718399999999 × 0.26572256651598 × 6371000     		du = 20775.2246125105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30508466)-sin(1.30184297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.262596026053888-0.26572256651598)×R²
    abs(0.74858262-0.73631078)×0.00312654046209243×R²
    0.0122718399999999×0.00312654046209243×6371000²
    0.0122718399999999×0.00312654046209243×40589641000000     		ar = 426542838.850745m²