Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3160 / 5176
↖ ↑ ↗
← S 42.811522°
W 41.132813°		 ← 3 584.70 m → S 42.811522°
W 41.088867°		 →
↑
3 583.75 m
↓
↑
3 583.75 m
↓
S 42.843751°
W 41.132813°		 ← 3 582.83 m →
12 843 319 m²		 S 42.843751°
W 41.088867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38580322265625 y=0.63189697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38580322265625 × 213)
    floor (0.38580322265625 × 8192)
    floor (3160.5)     		tx = 3160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63189697265625 × 213)
    floor (0.63189697265625 × 8192)
    floor (5176.5)     		ty = 5176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3160 / 5176 ti = "13/3160/5176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3160/5176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3160 ÷ 213
    3160 ÷ 8192     		x = 0.3857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5176 ÷ 213
    5176 ÷ 8192     		y = 0.6318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3857421875 × 2 - 1) × π
    -0.228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.71790301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6318359375 × 2 - 1) × π
    -0.263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.82834962543457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71790301} λ = -0.71790301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.82834962543457))-π/2
    2×atan(0.436769525141391)-π/2
    2×0.411797157285579-π/2
    0.823594314571158-1.57079632675     		φ = -0.74720201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71790301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.132813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74720201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.811522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3160 KachelY 5176 -0.71790301 -0.74720201 -41.132813 -42.811522
    Oben rechts KachelX + 1 3161 KachelY 5176 -0.71713602 -0.74720201 -41.088867 -42.811522
    Unten links KachelX 3160 KachelY + 1 5177 -0.71790301 -0.74776452 -41.132813 -42.843751
    Unten rechts KachelX + 1 3161 KachelY + 1 5177 -0.71713602 -0.74776452 -41.088867 -42.843751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74720201--0.74776452) × R
    0.000562510000000072 × 6371000     		dl = 3583.75121000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74720201--0.74776452) × R
    0.000562510000000072 × 6371000     		dr = 3583.75121000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71790301--0.71713602) × cos(-0.74720201) × R
    0.000766990000000023 × 0.733593220717427 × 6371000     		do = 3584.6983506253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71790301--0.71713602) × cos(-0.74776452) × R
    0.000766990000000023 × 0.733210829160377 × 6371000     		du = 3582.82979684763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74720201)-sin(-0.74776452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733593220717427-0.733210829160377)×R²
    abs(-0.71713602--0.71790301)×0.000382391557049666×R²
    0.000766990000000023×0.000382391557049666×6371000²
    0.000766990000000023×0.000382391557049666×40589641000000     		ar = 12843319.174263m²