Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3168 / 1120
↖ ↑ ↗
← N 62.915233°
E 98.437500°		 ← 4 449.72 m → N 62.915233°
E 98.525390°		 →
↑
4 452.76 m
↓
↑
4 452.76 m
↓
N 62.875189°
E 98.437500°		 ← 4 455.80 m →
19 827 058 m²		 N 62.875189°
E 98.525390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7735595703125 y=0.2735595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7735595703125 × 212)
    floor (0.7735595703125 × 4096)
    floor (3168.5)     		tx = 3168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2735595703125 × 212)
    floor (0.2735595703125 × 4096)
    floor (1120.5)     		ty = 1120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3168 / 1120 ti = "12/3168/1120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3168/1120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3168 ÷ 212
    3168 ÷ 4096     		x = 0.7734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1120 ÷ 212
    1120 ÷ 4096     		y = 0.2734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7734375 × 2 - 1) × π
    0.546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71805848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2734375 × 2 - 1) × π
    0.453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.42353417111719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71805848} λ = 1.71805848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42353417111719))-π/2
    2×atan(4.15176759935729)-π/2
    2×1.33443714648737-π/2
    2.66887429297475-1.57079632675     		φ = 1.09807797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71805848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09807797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.915233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3168 KachelY 1120 1.71805848 1.09807797 98.437500 62.915233
    Oben rechts KachelX + 1 3169 KachelY 1120 1.71959246 1.09807797 98.525390 62.915233
    Unten links KachelX 3168 KachelY + 1 1121 1.71805848 1.09737906 98.437500 62.875189
    Unten rechts KachelX + 1 3169 KachelY + 1 1121 1.71959246 1.09737906 98.525390 62.875189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09807797-1.09737906) × R
    0.000698910000000108 × 6371000     		dl = 4452.75561000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09807797-1.09737906) × R
    0.000698910000000108 × 6371000     		dr = 4452.75561000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71805848-1.71959246) × cos(1.09807797) × R
    0.00153398000000005 × 0.455308209816203 × 6371000     		do = 4449.72102429771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71805848-1.71959246) × cos(1.09737906) × R
    0.00153398000000005 × 0.455930361820595 × 6371000     		du = 4455.80130748735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09807797)-sin(1.09737906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455308209816203-0.455930361820595)×R²
    abs(1.71959246-1.71805848)×0.000622152004391419×R²
    0.00153398000000005×0.000622152004391419×6371000²
    0.00153398000000005×0.000622152004391419×40589641000000     		ar = 19827058.0685025m²