Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3168 / 5217
↖ ↑ ↗
← S 44.119141°
W 40.781250°		 ← 3 507.98 m → S 44.119141°
W 40.737305°		 →
↑
3 507.04 m
↓
↑
3 507.04 m
↓
S 44.150681°
W 40.781250°		 ← 3 506.11 m →
12 299 368 m²		 S 44.150681°
W 40.737305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38677978515625 y=0.63690185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38677978515625 × 213)
    floor (0.38677978515625 × 8192)
    floor (3168.5)     		tx = 3168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63690185546875 × 213)
    floor (0.63690185546875 × 8192)
    floor (5217.5)     		ty = 5217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3168 / 5217 ti = "13/3168/5217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3168/5217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3168 ÷ 213
    3168 ÷ 8192     		x = 0.38671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5217 ÷ 213
    5217 ÷ 8192     		y = 0.6368408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38671875 × 2 - 1) × π
    -0.2265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.71176709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6368408203125 × 2 - 1) × π
    -0.273681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.859796231585327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71176709} λ = -0.71176709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.859796231585327))-π/2
    2×atan(0.423248318170185)-π/2
    2×0.400386022098691-π/2
    0.800772044197383-1.57079632675     		φ = -0.77002428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71176709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.781250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77002428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.119141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3168 KachelY 5217 -0.71176709 -0.77002428 -40.781250 -44.119141
    Oben rechts KachelX + 1 3169 KachelY 5217 -0.71100010 -0.77002428 -40.737305 -44.119141
    Unten links KachelX 3168 KachelY + 1 5218 -0.71176709 -0.77057475 -40.781250 -44.150681
    Unten rechts KachelX + 1 3169 KachelY + 1 5218 -0.71100010 -0.77057475 -40.737305 -44.150681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77002428--0.77057475) × R
    0.00055046999999997 × 6371000     		dl = 3507.04436999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77002428--0.77057475) × R
    0.00055046999999997 × 6371000     		dr = 3507.04436999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71176709--0.71100010) × cos(-0.77002428) × R
    0.000766990000000023 × 0.71789376723574 × 6371000     		do = 3507.98307653037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71176709--0.71100010) × cos(-0.77057475) × R
    0.000766990000000023 × 0.717510447328143 × 6371000     		du = 3506.10998637398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77002428)-sin(-0.77057475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71789376723574-0.717510447328143)×R²
    abs(-0.71100010--0.71176709)×0.000383319907596991×R²
    0.000766990000000023×0.000383319907596991×6371000²
    0.000766990000000023×0.000383319907596991×40589641000000     		ar = 12299368.1040324m²