Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31745 / 35839
↖ ↑ ↗
← S 16.630929°
W  5.619507°		 ← 585.30 m → S 16.630929°
W  5.614014°		 →
↑
585.24 m
↓
↑
585.24 m
↓
S 16.636192°
W  5.619507°		 ← 585.28 m →
342 535 m²		 S 16.636192°
W  5.614014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484397888183594 y=0.546867370605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484397888183594 × 216)
    floor (0.484397888183594 × 65536)
    floor (31745.5)     		tx = 31745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546867370605469 × 216)
    floor (0.546867370605469 × 65536)
    floor (35839.5)     		ty = 35839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31745 / 35839 ti = "16/31745/35839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31745/35839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31745 ÷ 216
    31745 ÷ 65536     		x = 0.484390258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35839 ÷ 216
    35839 ÷ 65536     		y = 0.546859741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484390258789062 × 2 - 1) × π
    -0.031219482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09807890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546859741210938 × 2 - 1) × π
    -0.093719482421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.294428437466385
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09807890} λ = -0.09807890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.294428437466385))-π/2
    2×atan(0.744957255462749)-π/2
    2×0.640265932749179-π/2
    1.28053186549836-1.57079632675     		φ = -0.29026446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09807890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.619507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29026446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.630929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31745 KachelY 35839 -0.09807890 -0.29026446 -5.619507 -16.630929
    Oben rechts KachelX + 1 31746 KachelY 35839 -0.09798302 -0.29026446 -5.614014 -16.630929
    Unten links KachelX 31745 KachelY + 1 35840 -0.09807890 -0.29035632 -5.619507 -16.636192
    Unten rechts KachelX + 1 31746 KachelY + 1 35840 -0.09798302 -0.29035632 -5.614014 -16.636192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29026446--0.29035632) × R
    9.18599999999992e-05 × 6371000     		dl = 585.240059999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29026446--0.29035632) × R
    9.18599999999992e-05 × 6371000     		dr = 585.240059999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09807890--0.09798302) × cos(-0.29026446) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.958168219078775 × 6371000     		do = 585.298474713189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09807890--0.09798302) × cos(-0.29035632) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.958141924186794 × 6371000     		du = 585.282412439506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29026446)-sin(-0.29035632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958168219078775-0.958141924186794)×R²
    abs(-0.09798302--0.09807890)×2.62948919801387e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.62948919801387e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.62948919801387e-05×40589641000000     		ar = 342535.41455692m²