Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3184 / 5296
↖ ↑ ↗
← S 46.558860°
W 40.078125°		 ← 3 360 m → S 46.558860°
W 40.034180°		 →
↑
3 359.05 m
↓
↑
3 359.05 m
↓
S 46.589069°
W 40.078125°		 ← 3 358.13 m →
11 283 242 m²		 S 46.589069°
W 40.034180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38873291015625 y=0.64654541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38873291015625 × 213)
    floor (0.38873291015625 × 8192)
    floor (3184.5)     		tx = 3184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64654541015625 × 213)
    floor (0.64654541015625 × 8192)
    floor (5296.5)     		ty = 5296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3184 / 5296 ti = "13/3184/5296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3184/5296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3184 ÷ 213
    3184 ÷ 8192     		x = 0.388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5296 ÷ 213
    5296 ÷ 8192     		y = 0.646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.388671875 × 2 - 1) × π
    -0.22265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.69949524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646484375 × 2 - 1) × π
    -0.29296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.920388472705078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69949524} λ = -0.69949524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.920388472705078))-π/2
    2×atan(0.398364257381167)-π/2
    2×0.379095459273753-π/2
    0.758190918547505-1.57079632675     		φ = -0.81260541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69949524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.078125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81260541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.558860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3184 KachelY 5296 -0.69949524 -0.81260541 -40.078125 -46.558860
    Oben rechts KachelX + 1 3185 KachelY 5296 -0.69872825 -0.81260541 -40.034180 -46.558860
    Unten links KachelX 3184 KachelY + 1 5297 -0.69949524 -0.81313265 -40.078125 -46.589069
    Unten rechts KachelX + 1 3185 KachelY + 1 5297 -0.69872825 -0.81313265 -40.034180 -46.589069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81260541--0.81313265) × R
    0.00052724000000004 × 6371000     		dl = 3359.04604000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81260541--0.81313265) × R
    0.00052724000000004 × 6371000     		dr = 3359.04604000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69949524--0.69872825) × cos(-0.81260541) × R
    0.000766989999999912 × 0.687609029827766 × 6371000     		do = 3359.9969103964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69949524--0.69872825) × cos(-0.81313265) × R
    0.000766989999999912 × 0.687226115253693 × 6371000     		du = 3358.12580089955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81260541)-sin(-0.81313265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687609029827766-0.687226115253693)×R²
    abs(-0.69872825--0.69949524)×0.000382914574073578×R²
    0.000766989999999912×0.000382914574073578×6371000²
    0.000766989999999912×0.000382914574073578×40589641000000     		ar = 11283242.0061846m²