Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 319 / 61
↖ ↑ ↗
← N 79.560546°
E 44.296875°		 ← 14.167 km → N 79.560546°
E 45.000000°		 →
↑
14.253 km
↓
↑
14.253 km
↓
N 79.432371°
E 44.296875°		 ← 14.339 km →
203.136 km²		 N 79.432371°
E 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6240234375 y=0.1201171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6240234375 × 29)
    floor (0.6240234375 × 512)
    floor (319.5)     		tx = 319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1201171875 × 29)
    floor (0.1201171875 × 512)
    floor (61.5)     		ty = 61
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 319 / 61 ti = "9/319/61"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/319/61.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 319 ÷ 29
    319 ÷ 512     		x = 0.623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61 ÷ 29
    61 ÷ 512     		y = 0.119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623046875 × 2 - 1) × π
    0.24609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77312632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119140625 × 2 - 1) × π
    0.76171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3930100290332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77312632} λ = 0.77312632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3930100290332))-π/2
    2×atan(10.9463933659334)-π/2
    2×1.47969490688523-π/2
    2.95938981377045-1.57079632675     		φ = 1.38859349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77312632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38859349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.560546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 319 KachelY 61 0.77312632 1.38859349 44.296875 79.560546
    Oben rechts KachelX + 1 320 KachelY 61 0.78539816 1.38859349 45.000000 79.560546
    Unten links KachelX 319 KachelY + 1 62 0.77312632 1.38635640 44.296875 79.432371
    Unten rechts KachelX + 1 320 KachelY + 1 62 0.78539816 1.38635640 45.000000 79.432371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38859349-1.38635640) × R
    0.00223709000000016 × 6371000     		dl = 14252.500390001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38859349-1.38635640) × R
    0.00223709000000016 × 6371000     		dr = 14252.500390001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77312632-0.78539816) × cos(1.38859349) × R
    0.0122718399999999 × 0.181196384390541 × 6371000     		do = 14166.6386639461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77312632-0.78539816) × cos(1.38635640) × R
    0.0122718399999999 × 0.183395988450163 × 6371000     		du = 14338.6122715941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38859349)-sin(1.38635640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181196384390541-0.183395988450163)×R²
    abs(0.78539816-0.77312632)×0.00219960405962172×R²
    0.0122718399999999×0.00219960405962172×6371000²
    0.0122718399999999×0.00219960405962172×40589641000000     		ar = 203135634.755179m²