Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3199 / 5247
↖ ↑ ↗
← S 45.058001°
W 39.418945°		 ← 3 451.77 m → S 45.058001°
W 39.375000°		 →
↑
3 450.85 m
↓
↑
3 450.85 m
↓
S 45.089036°
W 39.418945°		 ← 3 449.90 m →
11 908 325 m²		 S 45.089036°
W 39.375000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.39056396484375 y=0.64056396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.39056396484375 × 213)
    floor (0.39056396484375 × 8192)
    floor (3199.5)     		tx = 3199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64056396484375 × 213)
    floor (0.64056396484375 × 8192)
    floor (5247.5)     		ty = 5247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3199 / 5247 ti = "13/3199/5247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3199/5247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3199 ÷ 213
    3199 ÷ 8192     		x = 0.3905029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5247 ÷ 213
    5247 ÷ 8192     		y = 0.6405029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3905029296875 × 2 - 1) × π
    -0.218994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.68799038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6405029296875 × 2 - 1) × π
    -0.281005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.882805943402954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68799038} λ = -0.68799038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.882805943402954))-π/2
    2×atan(0.413620685639686)-π/2
    2×0.392192923698345-π/2
    0.784385847396689-1.57079632675     		φ = -0.78641048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68799038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.418945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78641048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.058001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3199 KachelY 5247 -0.68799038 -0.78641048 -39.418945 -45.058001
    Oben rechts KachelX + 1 3200 KachelY 5247 -0.68722339 -0.78641048 -39.375000 -45.058001
    Unten links KachelX 3199 KachelY + 1 5248 -0.68799038 -0.78695213 -39.418945 -45.089036
    Unten rechts KachelX + 1 3200 KachelY + 1 5248 -0.68722339 -0.78695213 -39.375000 -45.089036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78641048--0.78695213) × R
    0.000541649999999949 × 6371000     		dl = 3450.85214999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78641048--0.78695213) × R
    0.000541649999999949 × 6371000     		dr = 3450.85214999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68799038--0.68722339) × cos(-0.78641048) × R
    0.000766990000000023 × 0.706390603058289 × 6371000     		do = 3451.77294196348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68799038--0.68722339) × cos(-0.78695213) × R
    0.000766990000000023 × 0.706007107541517 × 6371000     		du = 3449.89899369403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78641048)-sin(-0.78695213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706390603058289-0.706007107541517)×R²
    abs(-0.68722339--0.68799038)×0.000383495516771859×R²
    0.000766990000000023×0.000383495516771859×6371000²
    0.000766990000000023×0.000383495516771859×40589641000000     		ar = 11908325.0100212m²