Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 320 / 448
↖ ↑ ↗
← S 79.171334°
E 45.000000°		 ← 14.689 km → S 79.171334°
E 45.703125°		 →
↑
14.600 km
↓
↑
14.600 km
↓
S 79.302640°
E 45.000000°		 ← 14.513 km →
213.176 km²		 S 79.302640°
E 45.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6259765625 y=0.8759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6259765625 × 29)
    floor (0.6259765625 × 512)
    floor (320.5)     		tx = 320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8759765625 × 29)
    floor (0.8759765625 × 512)
    floor (448.5)     		ty = 448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 320 / 448 ti = "9/320/448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/320/448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 320 ÷ 29
    320 ÷ 512     		x = 0.625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 448 ÷ 29
    448 ÷ 512     		y = 0.875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625 × 2 - 1) × π
    0.25 × 3.1415926535     		Λ = 0.78539816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875 × 2 - 1) × π
    -0.75 × 3.1415926535     		Φ = -2.356194490125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78539816} λ = 0.78539816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.356194490125))-π/2
    2×atan(0.0947802248485378)-π/2
    2×0.0944979320635037-π/2
    0.188995864127007-1.57079632675     		φ = -1.38180046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78539816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38180046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.171334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 320 KachelY 448 0.78539816 -1.38180046 45.000000 -79.171334
    Oben rechts KachelX + 1 321 KachelY 448 0.79767001 -1.38180046 45.703125 -79.171334
    Unten links KachelX 320 KachelY + 1 449 0.78539816 -1.38409217 45.000000 -79.302640
    Unten rechts KachelX + 1 321 KachelY + 1 449 0.79767001 -1.38409217 45.703125 -79.302640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38180046--1.38409217) × R
    0.00229170999999995 × 6371000     		dl = 14600.4844099997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38180046--1.38409217) × R
    0.00229170999999995 × 6371000     		dr = 14600.4844099997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78539816-0.79767001) × cos(-1.38180046) × R
    0.0122718500000001 × 0.187872736870527 × 6371000     		do = 14688.6338588404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78539816-0.79767001) × cos(-1.38409217) × R
    0.0122718500000001 × 0.18562134310359 × 6371000     		du = 14512.6109868396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38180046)-sin(-1.38409217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187872736870527-0.18562134310359)×R²
    abs(0.79767001-0.78539816)×0.00225139376693667×R²
    0.0122718500000001×0.00225139376693667×6371000²
    0.0122718500000001×0.00225139376693667×40589641000000     		ar = 213176253.359935m²