Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 320 / 64
↖ ↑ ↗
← N 79.171334°
E 45.000000°		 ← 14.689 km → N 79.171334°
E 45.703125°		 →
↑
14.777 km
↓
↑
14.777 km
↓
N 79.038438°
E 45.000000°		 ← 14.867 km →
218.377 km²		 N 79.038438°
E 45.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6259765625 y=0.1259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6259765625 × 29)
    floor (0.6259765625 × 512)
    floor (320.5)     		tx = 320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1259765625 × 29)
    floor (0.1259765625 × 512)
    floor (64.5)     		ty = 64
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 320 / 64 ti = "9/320/64"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/320/64.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 320 ÷ 29
    320 ÷ 512     		x = 0.625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64 ÷ 29
    64 ÷ 512     		y = 0.125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625 × 2 - 1) × π
    0.25 × 3.1415926535     		Λ = 0.78539816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125 × 2 - 1) × π
    0.75 × 3.1415926535     		Φ = 2.356194490125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78539816} λ = 0.78539816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.356194490125))-π/2
    2×atan(10.5507240734872)-π/2
    2×1.47629839473139-π/2
    2.95259678946279-1.57079632675     		φ = 1.38180046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78539816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38180046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.171334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 320 KachelY 64 0.78539816 1.38180046 45.000000 79.171334
    Oben rechts KachelX + 1 321 KachelY 64 0.79767001 1.38180046 45.703125 79.171334
    Unten links KachelX 320 KachelY + 1 65 0.78539816 1.37948097 45.000000 79.038438
    Unten rechts KachelX + 1 321 KachelY + 1 65 0.79767001 1.37948097 45.703125 79.038438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38180046-1.37948097) × R
    0.00231949000000009 × 6371000     		dl = 14777.4707900006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38180046-1.37948097) × R
    0.00231949000000009 × 6371000     		dr = 14777.4707900006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78539816-0.79767001) × cos(1.38180046) × R
    0.0122718500000001 × 0.187872736870527 × 6371000     		do = 14688.6338588404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78539816-0.79767001) × cos(1.37948097) × R
    0.0122718500000001 × 0.190150417168949 × 6371000     		du = 14866.7119158715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38180046)-sin(1.37948097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187872736870527-0.190150417168949)×R²
    abs(0.79767001-0.78539816)×0.0022776802984214×R²
    0.0122718500000001×0.0022776802984214×6371000²
    0.0122718500000001×0.0022776802984214×40589641000000     		ar = 218376727.343288m²