Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3200 / 3200
↖ ↑ ↗
← S 70.612614°
E101.250000°		 ← 3 244.18 m → S 70.612614°
E101.337891°		 →
↑
3 241.82 m
↓
↑
3 241.82 m
↓
S 70.641769°
E101.250000°		 ← 3 239.49 m →
10 509 432 m²		 S 70.641769°
E101.337891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7813720703125 y=0.7813720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7813720703125 × 212)
    floor (0.7813720703125 × 4096)
    floor (3200.5)     		tx = 3200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7813720703125 × 212)
    floor (0.7813720703125 × 4096)
    floor (3200.5)     		ty = 3200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3200 / 3200 ti = "12/3200/3200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3200/3200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3200 ÷ 212
    3200 ÷ 4096     		x = 0.78125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3200 ÷ 212
    3200 ÷ 4096     		y = 0.78125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78125 × 2 - 1) × π
    0.5625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76714587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78125 × 2 - 1) × π
    -0.5625 × 3.1415926535     		Φ = -1.76714586759375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76714587} λ = 1.76714587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76714586759375))-π/2
    2×atan(0.170819836161558)-π/2
    2×0.1691868574588-π/2
    0.3383737149176-1.57079632675     		φ = -1.23242261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76714587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23242261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.612614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3200 KachelY 3200 1.76714587 -1.23242261 101.250000 -70.612614
    Oben rechts KachelX + 1 3201 KachelY 3200 1.76867985 -1.23242261 101.337891 -70.612614
    Unten links KachelX 3200 KachelY + 1 3201 1.76714587 -1.23293145 101.250000 -70.641769
    Unten rechts KachelX + 1 3201 KachelY + 1 3201 1.76867985 -1.23293145 101.337891 -70.641769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23242261--1.23293145) × R
    0.000508839999999955 × 6371000     		dl = 3241.81963999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23242261--1.23293145) × R
    0.000508839999999955 × 6371000     		dr = 3241.81963999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76714587-1.76867985) × cos(-1.23242261) × R
    0.00153398000000005 × 0.331953465734817 × 6371000     		do = 3244.17676581095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76714587-1.76867985) × cos(-1.23293145) × R
    0.00153398000000005 × 0.331473436165073 × 6371000     		du = 3239.48544326784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23242261)-sin(-1.23293145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331953465734817-0.331473436165073)×R²
    abs(1.76867985-1.76714587)×0.000480029569744023×R²
    0.00153398000000005×0.000480029569744023×6371000²
    0.00153398000000005×0.000480029569744023×40589641000000     		ar = 10509431.9710154m²