Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3200 / 5248
↖ ↑ ↗
← S 45.089036°
W 39.375000°		 ← 3 449.90 m → S 45.089036°
W 39.331055°		 →
↑
3 448.94 m
↓
↑
3 448.94 m
↓
S 45.120053°
W 39.375000°		 ← 3 448.03 m →
11 895 266 m²		 S 45.120053°
W 39.331055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.39068603515625 y=0.64068603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.39068603515625 × 213)
    floor (0.39068603515625 × 8192)
    floor (3200.5)     		tx = 3200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64068603515625 × 213)
    floor (0.64068603515625 × 8192)
    floor (5248.5)     		ty = 5248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3200 / 5248 ti = "13/3200/5248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3200/5248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3200 ÷ 213
    3200 ÷ 8192     		x = 0.390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5248 ÷ 213
    5248 ÷ 8192     		y = 0.640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390625 × 2 - 1) × π
    -0.21875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640625 × 2 - 1) × π
    -0.28125 × 3.1415926535     		Φ = -0.883572933796875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68722339} λ = -0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.883572933796875))-π/2
    2×atan(0.413303564177177)-π/2
    2×0.391922099828802-π/2
    0.783844199657604-1.57079632675     		φ = -0.78695213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78695213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.089036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3200 KachelY 5248 -0.68722339 -0.78695213 -39.375000 -45.089036
    Oben rechts KachelX + 1 3201 KachelY 5248 -0.68645640 -0.78695213 -39.331055 -45.089036
    Unten links KachelX 3200 KachelY + 1 5249 -0.68722339 -0.78749348 -39.375000 -45.120053
    Unten rechts KachelX + 1 3201 KachelY + 1 5249 -0.68645640 -0.78749348 -39.331055 -45.120053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78695213--0.78749348) × R
    0.000541349999999996 × 6371000     		dl = 3448.94084999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78695213--0.78749348) × R
    0.000541349999999996 × 6371000     		dr = 3448.94084999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68722339--0.68645640) × cos(-0.78695213) × R
    0.000766990000000023 × 0.706007107541517 × 6371000     		do = 3449.89899369403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68722339--0.68645640) × cos(-0.78749348) × R
    0.000766990000000023 × 0.705623617469134 × 6371000     		du = 3448.02507202856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78695213)-sin(-0.78749348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706007107541517-0.705623617469134)×R²
    abs(-0.68645640--0.68722339)×0.000383490072382253×R²
    0.000766990000000023×0.000383490072382253×6371000²
    0.000766990000000023×0.000383490072382253×40589641000000     		ar = 11895266.3357364m²