Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3200 / 7296
↖ ↑ ↗
← N 19.311143°
W109.687500°		 ← 2 305.75 m → N 19.311143°
W109.665527°		 →
↑
2 305.92 m
↓
↑
2 305.92 m
↓
N 19.290405°
W109.687500°		 ← 2 306.04 m →
5 317 215 m²		 N 19.290405°
W109.665527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.195343017578125 y=0.445343017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.195343017578125 × 214)
    floor (0.195343017578125 × 16384)
    floor (3200.5)     		tx = 3200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445343017578125 × 214)
    floor (0.445343017578125 × 16384)
    floor (7296.5)     		ty = 7296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3200 / 7296 ti = "14/3200/7296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3200/7296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3200 ÷ 214
    3200 ÷ 16384     		x = 0.1953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7296 ÷ 214
    7296 ÷ 16384     		y = 0.4453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1953125 × 2 - 1) × π
    -0.609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.91440802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4453125 × 2 - 1) × π
    0.109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.343611696476563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.91440802} λ = -1.91440802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.343611696476563))-π/2
    2×atan(1.41003100918292)-π/2
    2×0.953919680328065-π/2
    1.90783936065613-1.57079632675     		φ = 0.33704303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.91440802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -109.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33704303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.311143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3200 KachelY 7296 -1.91440802 0.33704303 -109.687500 19.311143
    Oben rechts KachelX + 1 3201 KachelY 7296 -1.91402453 0.33704303 -109.665527 19.311143
    Unten links KachelX 3200 KachelY + 1 7297 -1.91440802 0.33668109 -109.687500 19.290405
    Unten rechts KachelX + 1 3201 KachelY + 1 7297 -1.91402453 0.33668109 -109.665527 19.290405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33704303-0.33668109) × R
    0.000361940000000005 × 6371000     		dl = 2305.91974000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33704303-0.33668109) × R
    0.000361940000000005 × 6371000     		dr = 2305.91974000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.91440802--1.91402453) × cos(0.33704303) × R
    0.000383489999999931 × 0.94373665385257 × 6371000     		do = 2305.75135055729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.91440802--1.91402453) × cos(0.33668109) × R
    0.000383489999999931 × 0.943856284847703 × 6371000     		du = 2306.04363477394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33704303)-sin(0.33668109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94373665385257-0.943856284847703)×R²
    abs(-1.91402453--1.91440802)×0.000119630995132569×R²
    0.000383489999999931×0.000119630995132569×6371000²
    0.000383489999999931×0.000119630995132569×40589641000000     		ar = 5317214.60480042m²