Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3201 / 3201
↖ ↑ ↗
← S 70.641769°
E101.337891°		 ← 3 239.49 m → S 70.641769°
E101.425781°		 →
↑
3 237.17 m
↓
↑
3 237.17 m
↓
S 70.670881°
E101.337891°		 ← 3 234.80 m →
10 479 178 m²		 S 70.670881°
E101.425781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7816162109375 y=0.7816162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7816162109375 × 212)
    floor (0.7816162109375 × 4096)
    floor (3201.5)     		tx = 3201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7816162109375 × 212)
    floor (0.7816162109375 × 4096)
    floor (3201.5)     		ty = 3201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3201 / 3201 ti = "12/3201/3201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3201/3201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3201 ÷ 212
    3201 ÷ 4096     		x = 0.781494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3201 ÷ 212
    3201 ÷ 4096     		y = 0.781494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781494140625 × 2 - 1) × π
    0.56298828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.76867985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781494140625 × 2 - 1) × π
    -0.56298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.76867984838159
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76867985} λ = 1.76867985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76867984838159))-π/2
    2×atan(0.170558002689805)-π/2
    2×0.168932436469372-π/2
    0.337864872938745-1.57079632675     		φ = -1.23293145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76867985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.337891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23293145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.641769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3201 KachelY 3201 1.76867985 -1.23293145 101.337891 -70.641769
    Oben rechts KachelX + 1 3202 KachelY 3201 1.77021383 -1.23293145 101.425781 -70.641769
    Unten links KachelX 3201 KachelY + 1 3202 1.76867985 -1.23343956 101.337891 -70.670881
    Unten rechts KachelX + 1 3202 KachelY + 1 3202 1.77021383 -1.23343956 101.425781 -70.670881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23293145--1.23343956) × R
    0.000508110000000173 × 6371000     		dl = 3237.1688100011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23293145--1.23343956) × R
    0.000508110000000173 × 6371000     		dr = 3237.1688100011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76867985-1.77021383) × cos(-1.23293145) × R
    0.00153398000000005 × 0.331473436165073 × 6371000     		do = 3239.48544326784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76867985-1.77021383) × cos(-1.23343956) × R
    0.00153398000000005 × 0.330994009622915 × 6371000     		du = 3234.80001410524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23293145)-sin(-1.23343956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331473436165073-0.330994009622915)×R²
    abs(1.77021383-1.76867985)×0.000479426542157213×R²
    0.00153398000000005×0.000479426542157213×6371000²
    0.00153398000000005×0.000479426542157213×40589641000000     		ar = 10479177.700282m²