Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3204 / 3204
↖ ↑ ↗
← S 70.728980°
E101.601562°		 ← 3 225.45 m → S 70.728980°
E101.689453°		 →
↑
3 223.09 m
↓
↑
3 223.09 m
↓
S 70.757966°
E101.601562°		 ← 3 220.78 m →
10 388 381 m²		 S 70.757966°
E101.689453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7823486328125 y=0.7823486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7823486328125 × 212)
    floor (0.7823486328125 × 4096)
    floor (3204.5)     		tx = 3204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7823486328125 × 212)
    floor (0.7823486328125 × 4096)
    floor (3204.5)     		ty = 3204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3204 / 3204 ti = "12/3204/3204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3204/3204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3204 ÷ 212
    3204 ÷ 4096     		x = 0.7822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3204 ÷ 212
    3204 ÷ 4096     		y = 0.7822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7822265625 × 2 - 1) × π
    0.564453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.77328179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7822265625 × 2 - 1) × π
    -0.564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.77328179074512
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77328179} λ = 1.77328179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77328179074512))-π/2
    2×atan(0.169774907852465)-π/2
    2×0.168171379311371-π/2
    0.336342758622743-1.57079632675     		φ = -1.23445357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77328179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.601562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23445357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.728980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3204 KachelY 3204 1.77328179 -1.23445357 101.601562 -70.728980
    Oben rechts KachelX + 1 3205 KachelY 3204 1.77481577 -1.23445357 101.689453 -70.728980
    Unten links KachelX 3204 KachelY + 1 3205 1.77328179 -1.23495947 101.601562 -70.757966
    Unten rechts KachelX + 1 3205 KachelY + 1 3205 1.77481577 -1.23495947 101.689453 -70.757966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23445357--1.23495947) × R
    0.000505900000000059 × 6371000     		dl = 3223.08890000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23445357--1.23495947) × R
    0.000505900000000059 × 6371000     		dr = 3223.08890000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77328179-1.77481577) × cos(-1.23445357) × R
    0.00153398000000005 × 0.330036986468592 × 6371000     		do = 3225.44703966129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77328179-1.77481577) × cos(-1.23495947) × R
    0.00153398000000005 × 0.329559390843107 × 6371000     		du = 3220.77950402275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23445357)-sin(-1.23495947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330036986468592-0.329559390843107)×R²
    abs(1.77481577-1.77328179)×0.000477595625485772×R²
    0.00153398000000005×0.000477595625485772×6371000²
    0.00153398000000005×0.000477595625485772×40589641000000     		ar = 10388380.8314778m²