Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3209 / 5255
↖ ↑ ↗
← S 45.305803°
W 38.979492°		 ← 3 436.78 m → S 45.305803°
W 38.935547°		 →
↑
3 435.82 m
↓
↑
3 435.82 m
↓
S 45.336702°
W 38.979492°		 ← 3 434.91 m →
11 804 933 m²		 S 45.336702°
W 38.935547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.39178466796875 y=0.64154052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.39178466796875 × 213)
    floor (0.39178466796875 × 8192)
    floor (3209.5)     		tx = 3209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64154052734375 × 213)
    floor (0.64154052734375 × 8192)
    floor (5255.5)     		ty = 5255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3209 / 5255 ti = "13/3209/5255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3209/5255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3209 ÷ 213
    3209 ÷ 8192     		x = 0.3917236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5255 ÷ 213
    5255 ÷ 8192     		y = 0.6414794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3917236328125 × 2 - 1) × π
    -0.216552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.68032048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6414794921875 × 2 - 1) × π
    -0.282958984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.888941866554321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68032048} λ = -0.68032048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.888941866554321))-π/2
    2×atan(0.411090511314716)-π/2
    2×0.390030450597003-π/2
    0.780060901194007-1.57079632675     		φ = -0.79073543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68032048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.979492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79073543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.305803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3209 KachelY 5255 -0.68032048 -0.79073543 -38.979492 -45.305803
    Oben rechts KachelX + 1 3210 KachelY 5255 -0.67955349 -0.79073543 -38.935547 -45.305803
    Unten links KachelX 3209 KachelY + 1 5256 -0.68032048 -0.79127472 -38.979492 -45.336702
    Unten rechts KachelX + 1 3210 KachelY + 1 5256 -0.67955349 -0.79127472 -38.935547 -45.336702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79073543--0.79127472) × R
    0.00053928999999997 × 6371000     		dl = 3435.81658999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79073543--0.79127472) × R
    0.00053928999999997 × 6371000     		dr = 3435.81658999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68032048--0.67955349) × cos(-0.79073543) × R
    0.000766990000000023 × 0.703322710252269 × 6371000     		do = 3436.78170435243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68032048--0.67955349) × cos(-0.79127472) × R
    0.000766990000000023 × 0.702939242531099 × 6371000     		du = 3434.907891906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79073543)-sin(-0.79127472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703322710252269-0.702939242531099)×R²
    abs(-0.67955349--0.68032048)×0.000383467721170816×R²
    0.000766990000000023×0.000383467721170816×6371000²
    0.000766990000000023×0.000383467721170816×40589641000000     		ar = 11804932.8441814m²