Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 321 / 831
↖ ↑ ↗
← N 32.101189°
W123.574219°		 ← 16.558 km → N 32.101189°
W123.398438°		 →
↑
16.571 km
↓
↑
16.571 km
↓
N 31.952162°
W123.574219°		 ← 16.585 km →
274.601 km²		 N 31.952162°
W123.398438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156982421875 y=0.406005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156982421875 × 211)
    floor (0.156982421875 × 2048)
    floor (321.5)     		tx = 321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406005859375 × 211)
    floor (0.406005859375 × 2048)
    floor (831.5)     		ty = 831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 321 / 831 ti = "11/321/831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/321/831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 321 ÷ 211
    321 ÷ 2048     		x = 0.15673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 831 ÷ 211
    831 ÷ 2048     		y = 0.40576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15673828125 × 2 - 1) × π
    -0.6865234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.15677699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40576171875 × 2 - 1) × π
    0.1884765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.592116584106934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15677699} λ = -2.15677699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.592116584106934))-π/2
    2×atan(1.8078107523288)-π/2
    2×1.06553389070848-π/2
    2.13106778141696-1.57079632675     		φ = 0.56027145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15677699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.574219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56027145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.101189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 321 KachelY 831 -2.15677699 0.56027145 -123.574219 32.101189
    Oben rechts KachelX + 1 322 KachelY 831 -2.15370903 0.56027145 -123.398438 32.101189
    Unten links KachelX 321 KachelY + 1 832 -2.15677699 0.55767043 -123.574219 31.952162
    Unten rechts KachelX + 1 322 KachelY + 1 832 -2.15370903 0.55767043 -123.398438 31.952162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56027145-0.55767043) × R
    0.00260101999999995 × 6371000     		dl = 16571.0984199997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56027145-0.55767043) × R
    0.00260101999999995 × 6371000     		dr = 16571.0984199997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15677699--2.15370903) × cos(0.56027145) × R
    0.00306796000000009 × 0.847110889306722 × 6371000     		do = 16557.6067059334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15677699--2.15370903) × cos(0.55767043) × R
    0.00306796000000009 × 0.848490246343458 × 6371000     		du = 16584.5675815515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56027145)-sin(0.55767043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847110889306722-0.848490246343458)×R²
    abs(-2.15370903--2.15677699)×0.00137935703673653×R²
    0.00306796000000009×0.00137935703673653×6371000²
    0.00306796000000009×0.00137935703673653×40589641000000     		ar = 274601270.798809m²