Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3210 / 5258
↖ ↑ ↗
← S 45.398450°
W 38.935547°		 ← 3 431.16 m → S 45.398450°
W 38.891602°		 →
↑
3 430.21 m
↓
↑
3 430.21 m
↓
S 45.429299°
W 38.935547°		 ← 3 429.29 m →
11 766 387 m²		 S 45.429299°
W 38.891602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.39190673828125 y=0.64190673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.39190673828125 × 213)
    floor (0.39190673828125 × 8192)
    floor (3210.5)     		tx = 3210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64190673828125 × 213)
    floor (0.64190673828125 × 8192)
    floor (5258.5)     		ty = 5258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3210 / 5258 ti = "13/3210/5258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3210/5258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3210 ÷ 213
    3210 ÷ 8192     		x = 0.391845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5258 ÷ 213
    5258 ÷ 8192     		y = 0.641845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.391845703125 × 2 - 1) × π
    -0.21630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.67955349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641845703125 × 2 - 1) × π
    -0.28369140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.891242837736084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.67955349} λ = -0.67955349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.891242837736084))-π/2
    2×atan(0.410145691313742)-π/2
    2×0.389221949712168-π/2
    0.778443899424335-1.57079632675     		φ = -0.79235243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.67955349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.935547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79235243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.398450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3210 KachelY 5258 -0.67955349 -0.79235243 -38.935547 -45.398450
    Oben rechts KachelX + 1 3211 KachelY 5258 -0.67878650 -0.79235243 -38.891602 -45.398450
    Unten links KachelX 3210 KachelY + 1 5259 -0.67955349 -0.79289084 -38.935547 -45.429299
    Unten rechts KachelX + 1 3211 KachelY + 1 5259 -0.67878650 -0.79289084 -38.891602 -45.429299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79235243--0.79289084) × R
    0.000538409999999989 × 6371000     		dl = 3430.21010999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79235243--0.79289084) × R
    0.000538409999999989 × 6371000     		dr = 3430.21010999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.67955349--0.67878650) × cos(-0.79235243) × R
    0.000766990000000023 × 0.702172313331486 × 6371000     		do = 3431.16029751819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.67955349--0.67878650) × cos(-0.79289084) × R
    0.000766990000000023 × 0.701788859858306 × 6371000     		du = 3429.28655469447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79235243)-sin(-0.79289084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702172313331486-0.701788859858306)×R²
    abs(-0.67878650--0.67955349)×0.000383453473180029×R²
    0.000766990000000023×0.000383453473180029×6371000²
    0.000766990000000023×0.000383453473180029×40589641000000     		ar = 11766387.3600311m²