Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3216 / 3216
↖ ↑ ↗
← S 71.074057°
E102.656250°		 ← 3 169.83 m → S 71.074057°
E102.744141°		 →
↑
3 167.53 m
↓
↑
3 167.53 m
↓
S 71.102543°
E102.656250°		 ← 3 165.23 m →
10 033 254 m²		 S 71.102543°
E102.744141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7852783203125 y=0.7852783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7852783203125 × 212)
    floor (0.7852783203125 × 4096)
    floor (3216.5)     		tx = 3216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7852783203125 × 212)
    floor (0.7852783203125 × 4096)
    floor (3216.5)     		ty = 3216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3216 / 3216 ti = "12/3216/3216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3216/3216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3216 ÷ 212
    3216 ÷ 4096     		x = 0.78515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3216 ÷ 212
    3216 ÷ 4096     		y = 0.78515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78515625 × 2 - 1) × π
    0.5703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.79168956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78515625 × 2 - 1) × π
    -0.5703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79168956019922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79168956} λ = 1.79168956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79168956019922))-π/2
    2×atan(0.166678318578755)-π/2
    2×0.16516001438875-π/2
    0.330320028777501-1.57079632675     		φ = -1.24047630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79168956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24047630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.074057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3216 KachelY 3216 1.79168956 -1.24047630 102.656250 -71.074057
    Oben rechts KachelX + 1 3217 KachelY 3216 1.79322354 -1.24047630 102.744141 -71.074057
    Unten links KachelX 3216 KachelY + 1 3217 1.79168956 -1.24097348 102.656250 -71.102543
    Unten rechts KachelX + 1 3217 KachelY + 1 3217 1.79322354 -1.24097348 102.744141 -71.102543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24047630--1.24097348) × R
    0.000497179999999986 × 6371000     		dl = 3167.53377999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24047630--1.24097348) × R
    0.000497179999999986 × 6371000     		dr = 3167.53377999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79168956-1.79322354) × cos(-1.24047630) × R
    0.00153398000000005 × 0.324345770694955 × 6371000     		do = 3169.82686428164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79168956-1.79322354) × cos(-1.24097348) × R
    0.00153398000000005 × 0.323875428877662 × 6371000     		du = 3165.23022001323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24047630)-sin(-1.24097348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324345770694955-0.323875428877662)×R²
    abs(1.79322354-1.79168956)×0.00047034181729233×R²
    0.00153398000000005×0.00047034181729233×6371000²
    0.00153398000000005×0.00047034181729233×40589641000000     		ar = 10033253.8630449m²