Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3217 / 5263
↖ ↑ ↗
← S 45.552525°
W 38.627930°		 ← 3 421.79 m → S 45.552525°
W 38.583985°		 →
↑
3 420.84 m
↓
↑
3 420.84 m
↓
S 45.583290°
W 38.627930°		 ← 3 419.92 m →
11 702 214 m²		 S 45.583290°
W 38.583985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.39276123046875 y=0.64251708984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.39276123046875 × 213)
    floor (0.39276123046875 × 8192)
    floor (3217.5)     		tx = 3217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64251708984375 × 213)
    floor (0.64251708984375 × 8192)
    floor (5263.5)     		ty = 5263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3217 / 5263 ti = "13/3217/5263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3217/5263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3217 ÷ 213
    3217 ÷ 8192     		x = 0.3927001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5263 ÷ 213
    5263 ÷ 8192     		y = 0.6424560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3927001953125 × 2 - 1) × π
    -0.214599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.67418456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6424560546875 × 2 - 1) × π
    -0.284912109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.895077789705689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.67418456} λ = -0.67418456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.895077789705689))-π/2
    2×atan(0.408575814412267)-π/2
    2×0.387877389289534-π/2
    0.775754778579069-1.57079632675     		φ = -0.79504155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.67418456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.627930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79504155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.552525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3217 KachelY 5263 -0.67418456 -0.79504155 -38.627930 -45.552525
    Oben rechts KachelX + 1 3218 KachelY 5263 -0.67341757 -0.79504155 -38.583985 -45.552525
    Unten links KachelX 3217 KachelY + 1 5264 -0.67418456 -0.79557849 -38.627930 -45.583290
    Unten rechts KachelX + 1 3218 KachelY + 1 5264 -0.67341757 -0.79557849 -38.583985 -45.583290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79504155--0.79557849) × R
    0.000536940000000041 × 6371000     		dl = 3420.84474000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79504155--0.79557849) × R
    0.000536940000000041 × 6371000     		dr = 3420.84474000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.67418456--0.67341757) × cos(-0.79504155) × R
    0.000766990000000023 × 0.700255104403776 × 6371000     		do = 3421.79186895741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.67418456--0.67341757) × cos(-0.79557849) × R
    0.000766990000000023 × 0.699871685931871 × 6371000     		du = 3419.91829716717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79504155)-sin(-0.79557849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700255104403776-0.699871685931871)×R²
    abs(-0.67341757--0.67418456)×0.000383418471905927×R²
    0.000766990000000023×0.000383418471905927×6371000²
    0.000766990000000023×0.000383418471905927×40589641000000     		ar = 11702214.398346m²