Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 322 / 198
↖ ↑ ↗
← N 37.718590°
E 46.406250°		 ← 61.845 km → N 37.718590°
E 47.109375°		 →
↑
62.077 km
↓
↑
62.077 km
↓
N 37.160316°
E 46.406250°		 ← 62.309 km →
3 853.60 km²		 N 37.160316°
E 47.109375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6298828125 y=0.3876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6298828125 × 29)
    floor (0.6298828125 × 512)
    floor (322.5)     		tx = 322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3876953125 × 29)
    floor (0.3876953125 × 512)
    floor (198.5)     		ty = 198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 322 / 198 ti = "9/322/198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/322/198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 322 ÷ 29
    322 ÷ 512     		x = 0.62890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 198 ÷ 29
    198 ÷ 512     		y = 0.38671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62890625 × 2 - 1) × π
    0.2578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80994186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38671875 × 2 - 1) × π
    0.2265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.711767085558594
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80994186} λ = 0.80994186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.711767085558594))-π/2
    2×atan(2.03758867275937)-π/2
    2×1.1145549585856-π/2
    2.2291099171712-1.57079632675     		φ = 0.65831359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80994186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.65831359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 37.718590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 322 KachelY 198 0.80994186 0.65831359 46.406250 37.718590
    Oben rechts KachelX + 1 323 KachelY 198 0.82221370 0.65831359 47.109375 37.718590
    Unten links KachelX 322 KachelY + 1 199 0.80994186 0.64856987 46.406250 37.160316
    Unten rechts KachelX + 1 323 KachelY + 1 199 0.82221370 0.64856987 47.109375 37.160316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.65831359-0.64856987) × R
    0.00974372000000001 × 6371000     		dl = 62077.2401200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.65831359-0.64856987) × R
    0.00974372000000001 × 6371000     		dr = 62077.2401200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80994186-0.82221370) × cos(0.65831359) × R
    0.01227184 × 0.791025074037336 × 6371000     		do = 61845.4194640833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80994186-0.82221370) × cos(0.64856987) × R
    0.01227184 × 0.796948479384723 × 6371000     		du = 62308.5343518266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.65831359)-sin(0.64856987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.791025074037336-0.796948479384723)×R²
    abs(0.82221370-0.80994186)×0.00592340534738611×R²
    0.01227184×0.00592340534738611×6371000²
    0.01227184×0.00592340534738611×40589641000000     		ar = 3853597889.89458m²