Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 322 / 66
↖ ↑ ↗
← N 78.903929°
E 46.406250°		 ← 15.047 km → N 78.903929°
E 47.109375°		 →
↑
15.138 km
↓
↑
15.138 km
↓
N 78.767792°
E 46.406250°		 ← 15.229 km →
229.156 km²		 N 78.767792°
E 47.109375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6298828125 y=0.1298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6298828125 × 29)
    floor (0.6298828125 × 512)
    floor (322.5)     		tx = 322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1298828125 × 29)
    floor (0.1298828125 × 512)
    floor (66.5)     		ty = 66
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 322 / 66 ti = "9/322/66"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/322/66.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 322 ÷ 29
    322 ÷ 512     		x = 0.62890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66 ÷ 29
    66 ÷ 512     		y = 0.12890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62890625 × 2 - 1) × π
    0.2578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80994186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12890625 × 2 - 1) × π
    0.7421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.33165079751953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80994186} λ = 0.80994186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33165079751953))-π/2
    2×atan(10.2949223455174)-π/2
    2×1.47396484368687-π/2
    2.94792968737375-1.57079632675     		φ = 1.37713336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80994186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37713336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.903929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 322 KachelY 66 0.80994186 1.37713336 46.406250 78.903929
    Oben rechts KachelX + 1 323 KachelY 66 0.82221370 1.37713336 47.109375 78.903929
    Unten links KachelX 322 KachelY + 1 67 0.80994186 1.37475731 46.406250 78.767792
    Unten rechts KachelX + 1 323 KachelY + 1 67 0.82221370 1.37475731 47.109375 78.767792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37713336-1.37475731) × R
    0.00237605000000007 × 6371000     		dl = 15137.8145500005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37713336-1.37475731) × R
    0.00237605000000007 × 6371000     		dr = 15137.8145500005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80994186-0.82221370) × cos(1.37713336) × R
    0.01227184 × 0.192454668849152 × 6371000     		do = 15046.8551673689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80994186-0.82221370) × cos(1.37475731) × R
    0.01227184 × 0.194785755193382 × 6371000     		du = 15229.1085718407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37713336)-sin(1.37475731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192454668849152-0.194785755193382)×R²
    abs(0.82221370-0.80994186)×0.0023310863442291×R²
    0.01227184×0.0023310863442291×6371000²
    0.01227184×0.0023310863442291×40589641000000     		ar = 229156070.013935m²