Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32255 / 34303
↖ ↑ ↗
← S  8.401734°
W  2.817993°		 ← 604.23 m → S  8.401734°
W  2.812500°		 →
↑
604.29 m
↓
↑
604.29 m
↓
S  8.407168°
W  2.817993°		 ← 604.22 m →
365 129 m²		 S  8.407168°
W  2.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492179870605469 y=0.523429870605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492179870605469 × 216)
    floor (0.492179870605469 × 65536)
    floor (32255.5)     		tx = 32255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523429870605469 × 216)
    floor (0.523429870605469 × 65536)
    floor (34303.5)     		ty = 34303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32255 / 34303 ti = "16/32255/34303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32255/34303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32255 ÷ 216
    32255 ÷ 65536     		x = 0.492172241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34303 ÷ 216
    34303 ÷ 65536     		y = 0.523422241210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492172241210938 × 2 - 1) × π
    -0.015655517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04918326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523422241210938 × 2 - 1) × π
    -0.046844482421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.147166281833572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04918326} λ = -0.04918326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.147166281833572))-π/2
    2×atan(0.863150439245069)-π/2
    2×0.712079202892032-π/2
    1.42415840578406-1.57079632675     		φ = -0.14663792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04918326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.817993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14663792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.401734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32255 KachelY 34303 -0.04918326 -0.14663792 -2.817993 -8.401734
    Oben rechts KachelX + 1 32256 KachelY 34303 -0.04908739 -0.14663792 -2.812500 -8.401734
    Unten links KachelX 32255 KachelY + 1 34304 -0.04918326 -0.14673277 -2.817993 -8.407168
    Unten rechts KachelX + 1 32256 KachelY + 1 34304 -0.04908739 -0.14673277 -2.812500 -8.407168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14663792--0.14673277) × R
    9.48500000000074e-05 × 6371000     		dl = 604.289350000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14663792--0.14673277) × R
    9.48500000000074e-05 × 6371000     		dr = 604.289350000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04918326--0.04908739) × cos(-0.14663792) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.989267911623761 × 6371000     		do = 604.232741673221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04918326--0.04908739) × cos(-0.14673277) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.989254048358907 × 6371000     		du = 604.224274160596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14663792)-sin(-0.14673277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989267911623761-0.989254048358907)×R²
    abs(-0.04908739--0.04918326)×1.3863264854086e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.3863264854086e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.3863264854086e-05×40589641000000     		ar = 365128.852574435m²