Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32256 / 34304
↖ ↑ ↗
← S  8.407168°
W  2.812500°		 ← 604.29 m → S  8.407168°
W  2.807007°		 →
↑
604.23 m
↓
↑
604.23 m
↓
S  8.412602°
W  2.812500°		 ← 604.28 m →
365 123 m²		 S  8.412602°
W  2.807007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492195129394531 y=0.523445129394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492195129394531 × 216)
    floor (0.492195129394531 × 65536)
    floor (32256.5)     		tx = 32256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523445129394531 × 216)
    floor (0.523445129394531 × 65536)
    floor (34304.5)     		ty = 34304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32256 / 34304 ti = "16/32256/34304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32256/34304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32256 ÷ 216
    32256 ÷ 65536     		x = 0.4921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34304 ÷ 216
    34304 ÷ 65536     		y = 0.5234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4921875 × 2 - 1) × π
    -0.015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04908739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5234375 × 2 - 1) × π
    -0.046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.147262155632813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04908739} λ = -0.04908739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.147262155632813))-π/2
    2×atan(0.863067689699962)-π/2
    2×0.712031780787688-π/2
    1.42406356157538-1.57079632675     		φ = -0.14673277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04908739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14673277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.407168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32256 KachelY 34304 -0.04908739 -0.14673277 -2.812500 -8.407168
    Oben rechts KachelX + 1 32257 KachelY 34304 -0.04899151 -0.14673277 -2.807007 -8.407168
    Unten links KachelX 32256 KachelY + 1 34305 -0.04908739 -0.14682761 -2.812500 -8.412602
    Unten rechts KachelX + 1 32257 KachelY + 1 34305 -0.04899151 -0.14682761 -2.807007 -8.412602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14673277--0.14682761) × R
    9.48399999999849e-05 × 6371000     		dl = 604.225639999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14673277--0.14682761) × R
    9.48399999999849e-05 × 6371000     		dr = 604.225639999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04908739--0.04899151) × cos(-0.14673277) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.989254048358907 × 6371000     		do = 604.287299536027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04908739--0.04899151) × cos(-0.14682761) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.989240177657213 × 6371000     		du = 604.278826597368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14673277)-sin(-0.14682761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989254048358907-0.989240177657213)×R²
    abs(-0.04899151--0.04908739)×1.38707016942297e-05×R²
    9.58799999999996e-05×1.38707016942297e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×1.38707016942297e-05×40589641000000     		ar = 365123.320796163m²