Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32257 / 34305
↖ ↑ ↗
← S  8.412602°
W  2.807007°		 ← 604.22 m → S  8.412602°
W  2.801514°		 →
↑
604.23 m
↓
↑
604.23 m
↓
S  8.418036°
W  2.807007°		 ← 604.21 m →
365 080 m²		 S  8.418036°
W  2.801514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492210388183594 y=0.523460388183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492210388183594 × 216)
    floor (0.492210388183594 × 65536)
    floor (32257.5)     		tx = 32257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523460388183594 × 216)
    floor (0.523460388183594 × 65536)
    floor (34305.5)     		ty = 34305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32257 / 34305 ti = "16/32257/34305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32257/34305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32257 ÷ 216
    32257 ÷ 65536     		x = 0.492202758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34305 ÷ 216
    34305 ÷ 65536     		y = 0.523452758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492202758789062 × 2 - 1) × π
    -0.015594482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04899151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523452758789062 × 2 - 1) × π
    -0.046905517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.147358029432053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04899151} λ = -0.04899151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.147358029432053))-π/2
    2×atan(0.862984948087989)-π/2
    2×0.711984359348074-π/2
    1.42396871869615-1.57079632675     		φ = -0.14682761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04899151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.807007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14682761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.412602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32257 KachelY 34305 -0.04899151 -0.14682761 -2.807007 -8.412602
    Oben rechts KachelX + 1 32258 KachelY 34305 -0.04889564 -0.14682761 -2.801514 -8.412602
    Unten links KachelX 32257 KachelY + 1 34306 -0.04899151 -0.14692245 -2.807007 -8.418036
    Unten rechts KachelX + 1 32258 KachelY + 1 34306 -0.04889564 -0.14692245 -2.801514 -8.418036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14682761--0.14692245) × R
    9.48400000000127e-05 × 6371000     		dl = 604.225640000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14682761--0.14692245) × R
    9.48400000000127e-05 × 6371000     		dr = 604.225640000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04899151--0.04889564) × cos(-0.14682761) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.989240177657213 × 6371000     		do = 604.215802105683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04899151--0.04889564) × cos(-0.14692245) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.989226298057673 × 6371000     		du = 604.207324616032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14682761)-sin(-0.14692245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989240177657213-0.989226298057673)×R²
    abs(-0.04889564--0.04899151)×1.3879599539357e-05×R²
    9.58700000000048e-05×1.3879599539357e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×1.3879599539357e-05×40589641000000     		ar = 365080.118840807m²