Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 323 / 67
↖ ↑ ↗
← N 78.767792°
E 47.109375°		 ← 15.229 km → N 78.767792°
E 47.812500°		 →
↑
15.321 km
↓
↑
15.321 km
↓
N 78.630006°
E 47.109375°		 ← 15.413 km →
234.740 km²		 N 78.630006°
E 47.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6318359375 y=0.1318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6318359375 × 29)
    floor (0.6318359375 × 512)
    floor (323.5)     		tx = 323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1318359375 × 29)
    floor (0.1318359375 × 512)
    floor (67.5)     		ty = 67
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 323 / 67 ti = "9/323/67"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/323/67.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 323 ÷ 29
    323 ÷ 512     		x = 0.630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67 ÷ 29
    67 ÷ 512     		y = 0.130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630859375 × 2 - 1) × π
    0.26171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.82221370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130859375 × 2 - 1) × π
    0.73828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.3193789512168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82221370} λ = 0.82221370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3193789512168))-π/2
    2×atan(10.169356677908)-π/2
    2×1.4727768187408-π/2
    2.9455536374816-1.57079632675     		φ = 1.37475731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82221370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37475731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.767792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 323 KachelY 67 0.82221370 1.37475731 47.109375 78.767792
    Oben rechts KachelX + 1 324 KachelY 67 0.83448555 1.37475731 47.812500 78.767792
    Unten links KachelX 323 KachelY + 1 68 0.82221370 1.37235249 47.109375 78.630006
    Unten rechts KachelX + 1 324 KachelY + 1 68 0.83448555 1.37235249 47.812500 78.630006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37475731-1.37235249) × R
    0.00240481999999997 × 6371000     		dl = 15321.1082199998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37475731-1.37235249) × R
    0.00240481999999997 × 6371000     		dr = 15321.1082199998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82221370-0.83448555) × cos(1.37475731) × R
    0.01227185 × 0.194785755193382 × 6371000     		do = 15229.1209816411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82221370-0.83448555) × cos(1.37235249) × R
    0.01227185 × 0.197143947310492 × 6371000     		du = 15413.4937711902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37475731)-sin(1.37235249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194785755193382-0.197143947310492)×R²
    abs(0.83448555-0.82221370)×0.00235819211711058×R²
    0.01227185×0.00235819211711058×6371000²
    0.01227185×0.00235819211711058×40589641000000     		ar = 234739521.513969m²