Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3232 / 1184
↖ ↑ ↗
← N 60.239811°
E104.062500°		 ← 4 851.03 m → N 60.239811°
E104.150390°		 →
↑
4 854.26 m
↓
↑
4 854.26 m
↓
N 60.196156°
E104.062500°		 ← 4 857.49 m →
23 563 809 m²		 N 60.196156°
E104.150390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7891845703125 y=0.2891845703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7891845703125 × 212)
    floor (0.7891845703125 × 4096)
    floor (3232.5)     		tx = 3232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2891845703125 × 212)
    floor (0.2891845703125 × 4096)
    floor (1184.5)     		ty = 1184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3232 / 1184 ti = "12/3232/1184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3232/1184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3232 ÷ 212
    3232 ÷ 4096     		x = 0.7890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1184 ÷ 212
    1184 ÷ 4096     		y = 0.2890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7890625 × 2 - 1) × π
    0.578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.81623325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2890625 × 2 - 1) × π
    0.421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.32535940069531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81623325} λ = 1.81623325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32535940069531))-π/2
    2×atan(3.7635377300401)-π/2
    2×1.31108968623612-π/2
    2.62217937247223-1.57079632675     		φ = 1.05138305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81623325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05138305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.239811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3232 KachelY 1184 1.81623325 1.05138305 104.062500 60.239811
    Oben rechts KachelX + 1 3233 KachelY 1184 1.81776723 1.05138305 104.150390 60.239811
    Unten links KachelX 3232 KachelY + 1 1185 1.81623325 1.05062112 104.062500 60.196156
    Unten rechts KachelX + 1 3233 KachelY + 1 1185 1.81776723 1.05062112 104.150390 60.196156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05138305-1.05062112) × R
    0.000761930000000133 × 6371000     		dl = 4854.25603000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05138305-1.05062112) × R
    0.000761930000000133 × 6371000     		dr = 4854.25603000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81623325-1.81776723) × cos(1.05138305) × R
    0.00153398000000005 × 0.496370882698369 × 6371000     		do = 4851.02597531406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81623325-1.81776723) × cos(1.05062112) × R
    0.00153398000000005 × 0.497032178033511 × 6371000     		du = 4857.48880574982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05138305)-sin(1.05062112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.496370882698369-0.497032178033511)×R²
    abs(1.81776723-1.81623325)×0.000661295335141865×R²
    0.00153398000000005×0.000661295335141865×6371000²
    0.00153398000000005×0.000661295335141865×40589641000000     		ar = 23563809.3491387m²