Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3232 / 5279
↖ ↑ ↗
← S 46.042735°
W 37.968750°		 ← 3 391.82 m → S 46.042735°
W 37.924805°		 →
↑
3 390.90 m
↓
↑
3 390.90 m
↓
S 46.073231°
W 37.968750°		 ← 3 389.95 m →
11 498 154 m²		 S 46.073231°
W 37.924805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.39459228515625 y=0.64447021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.39459228515625 × 213)
    floor (0.39459228515625 × 8192)
    floor (3232.5)     		tx = 3232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64447021484375 × 213)
    floor (0.64447021484375 × 8192)
    floor (5279.5)     		ty = 5279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3232 / 5279 ti = "13/3232/5279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3232/5279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3232 ÷ 213
    3232 ÷ 8192     		x = 0.39453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5279 ÷ 213
    5279 ÷ 8192     		y = 0.6444091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39453125 × 2 - 1) × π
    -0.2109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.66267970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6444091796875 × 2 - 1) × π
    -0.288818359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.907349636008423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.66267970} λ = -0.66267970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.907349636008423))-π/2
    2×atan(0.40359247474404)-π/2
    2×0.383599496513946-π/2
    0.767198993027892-1.57079632675     		φ = -0.80359733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.66267970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -37.968750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80359733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.042735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3232 KachelY 5279 -0.66267970 -0.80359733 -37.968750 -46.042735
    Oben rechts KachelX + 1 3233 KachelY 5279 -0.66191271 -0.80359733 -37.924805 -46.042735
    Unten links KachelX 3232 KachelY + 1 5280 -0.66267970 -0.80412957 -37.968750 -46.073231
    Unten rechts KachelX + 1 3233 KachelY + 1 5280 -0.66191271 -0.80412957 -37.924805 -46.073231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80359733--0.80412957) × R
    0.000532239999999962 × 6371000     		dl = 3390.90103999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80359733--0.80412957) × R
    0.000532239999999962 × 6371000     		dr = 3390.90103999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.66267970--0.66191271) × cos(-0.80359733) × R
    0.000766990000000023 × 0.694121640366091 × 6371000     		do = 3391.8207380928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.66267970--0.66191271) × cos(-0.80412957) × R
    0.000766990000000023 × 0.693738404991914 × 6371000     		du = 3389.94806100839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80359733)-sin(-0.80412957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694121640366091-0.693738404991914)×R²
    abs(-0.66191271--0.66267970)×0.000383235374177615×R²
    0.000766990000000023×0.000383235374177615×6371000²
    0.000766990000000023×0.000383235374177615×40589641000000     		ar = 11498153.7083848m²